作者：石川

1 巴菲特的類比

1984?年，沃倫?巴菲特在介紹格倫厄姆和多德的價值投資流派時，舉了下面這個例子：

它的意思是說：假設(shè)全美國 2.7 億人都下注 1 美元來猜扔硬幣的結(jié)果（猜對的概率是50%），猜對的人得到 2 塊錢，猜錯的人出局。在此后的每一輪中，仍未被淘汰的人繼續(xù)押注它們的所有賭資，猜對后賭資翻倍，猜錯出局，以此類推。這樣，10 輪過后，大概還會剩下 26 萬人（即 10 輪全部猜對）；20 輪后，2.7 億人中還會剩下 250 人左右（即 20 輪全部猜對）。有 250 人連續(xù)猜對 20 輪扔硬幣的結(jié)果，多么不可思議！

連續(xù)猜對 20 輪后，剩余的這些人將會有超過 1 百萬美元！連續(xù)猜對 20 次，打敗了剩下的近 2.7 億人，從 1 元輕松賺到 100萬，這些人聽起來簡直就像是天選之人！但他們的成就真的是出于他們自身的某種特質(zhì)，還僅僅是依靠運氣呢？

巴菲特想通過這個故事表達的道理還沒有講完，但讓我們先把它放下，先來看看下面這個簡單的計算。

2 僅靠運氣勝出的“牛人”

如果你從大街上隨便抓一個人，然后讓他連續(xù)猜 20 次硬幣的正反，那么他全部猜對的概率微乎其微（順便說一句，如果你真的碰上這么一個全猜對的牛人，那么他很可能是真牛逼?。５?，如果許多許多人一起猜硬幣，那么是否一定會從中脫穎出來一個“牛人”呢？這樣找出來的“牛人”是否可信呢（即他是真牛還是僅僅是運氣呢）？這些問題可以通過下面的概率模型來回答。

對于一個人來說，假設(shè)他猜扔硬幣的結(jié)果 n 次，每次猜對的概率為 p（p = 0.5），不同次猜的結(jié)果相互獨立。那么，這個人在 n 次中猜對 k 次的概率符合二項分布。令 X 表示這個人猜對的次數(shù)。顯然，它是一個隨機變量，滿足以下概率質(zhì)量函數(shù)（probability mass function）：

如果以這個人猜對個數(shù)的多少來衡量他是否厲害，那么我們關(guān)心的則是他在 n 次中至少猜對 k 次的概率，即：

接下來，我們找來了好多好多人，一共有 m 位。我們想看看這 m 個人里面最厲害的人猜對次數(shù)的概率分布。根據(jù)我們對厲害的定義，這 m 個人里面最厲害的一定是在這些人中猜對次數(shù)最多的那一個。因此，如果用 Y 代表這個最厲害的人在 n 次中猜對的個數(shù)，那么不難發(fā)現(xiàn)，Y 和每個人猜對次數(shù) X 的關(guān)系為?Y =?max(X_1, X_2, …, X_m)。這其中 Xi?是第 i 個人猜對的次數(shù)。在這種關(guān)系下，不難推導(dǎo)出 Y 的累積分布函數(shù)（cumulative distribution function）：

由此不難計算出最厲害的人至少猜對 k 次的概率，即 Y ≥ k 的概率：

同樣，我們也可以從 CDF 反推出 Y 的PMF：

得到 PMF 后，我們可以求出 Y 的期望和方差：

下面我們就來看看，隨著人數(shù)的增多，最厲害的人猜對 k 次的概率，即 prob(Y = k)，是如何隨人數(shù) m 變化的。令輪次 n = 20，猜對概率 p = 0.5，下圖分別表示了當(dāng)我們有 1 個人，100 個人，以及 10000 個人猜硬幣時，Y 的概率分布。

可以明顯的看出，隨著參與人數(shù)的增多，Y 的概率質(zhì)量函數(shù)（pmf）在橫坐標(biāo)軸上向右移動，且變的越來越窄。Y 的 pmf 向右平移說明隨著人數(shù)的增多，最厲害之人的水平越來越高：當(dāng)只有 1 個人猜時，他猜對 10 次的概率最高（因為每次有二分之一的概率猜對，一共猜 20 次）；當(dāng)人數(shù)上升到 100 人時，他們之中猜的最好的那個人最有可能猜對 15 次；當(dāng)有 10000 人同時猜時，最好的那個最有可能猜對 18 次。這正所謂“水漲船高”。Y 的 pmf 變窄說明它的標(biāo)準(zhǔn)差越來越??；換句話說，隨著人數(shù)的增多，我們對于這其中最厲害人猜對的個數(shù)的判斷將越來越有信心。

下面再讓我們來看看最厲害的人至少猜對 k 次的概率，即 prob(Y?≥?k)，是如何隨人數(shù) m 變化的。下圖分別為 k 取 18，19 以及 20 的情況（輪次仍然是一共 20 輪）。比如，綠色曲線表示的是 prob(Y ≥ 19) 是如何隨 m 變化的?？梢钥吹?，在參與的人數(shù)大約為 30 萬人時，最厲害之人至少猜對 19 輪的概率就已經(jīng)非常接近 1。換句話說，我們可以斷言，如果有 30 萬人同時參與猜硬幣的游戲，那么一定會至少有一個人從中脫穎而出，猜對至少 19 輪。當(dāng) k = 20（即 20 輪全部猜對）時，prob(Y ≥ 20) 的概率也是隨 m 單調(diào)遞增的，雖然速度比起 k = 19 時要慢得多。當(dāng) 1 百萬人同時猜硬幣的時候，最厲害的那個人有超過 60% 的概率猜對全部的 20 輪。

從上面的結(jié)果不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)越來越多的人參與猜硬幣的游戲后，總會出現(xiàn)一個或者多個最厲害的“天選之人”，會全部猜對，令眾粉絲驚呼。這些人也許會將這種幸運誤以為是自己的天生神力；也許還會開始在自媒體上大肆曝光、出書、給迷信的人講座、開啟網(wǎng)紅之路、站上人生巔峰。殊不知這這種結(jié)果的出現(xiàn)僅僅是靠運氣（pure luck），一切皆枉然。

3 投資界

上面這個例子在證券投資界也有著完美的體現(xiàn)。下面這類場景你一定不陌生：每年末在各大基金或者陽光私募排行的榜單上，都有收益率嗷嗷牛叉的 top 10。又或者在民間量化平臺（諸如果仁網(wǎng)）首頁上的推薦策略中，各種上榜的策略那無論從回測還是到實盤，其業(yè)績讓人看來都嘖嘖稱奇，感嘆這些人賺錢簡直如探囊取物一般簡單。

相信看過猜硬幣的例子后你能夠明白，這些上榜的例子和猜硬幣中的那些最厲害的人并沒有太大的差異。為了進一步說服你，讓我們假設(shè)一個股票型投資策略的年化收益率 X 符合均值為 10%，標(biāo)準(zhǔn)差為 20% 的正態(tài)分布。假設(shè)市場中有 m 支股票型基金，則它們中最好的那個的收益率 Y 是 X 的函數(shù)，Y =?max(X_1, X_2, …, X_m)。類似上節(jié)中的計算不難得到關(guān)于 Y 的概率分布和各種統(tǒng)計值。比如，下圖是當(dāng)有 3000 支基金時，其中最好的那個的收益率分布和單獨一支基金收益率分布的比較：和猜硬幣的例子一樣，最好的那支的收益率分布在橫坐標(biāo)上向右移動且變的更窄。

下圖為 prob(Y ≥ 0.7) ——最好的那個基金的年化收益率超過 70% 的概率——隨基金個數(shù) m 變化的結(jié)果。同時，我們也給出了 Y 的均值和標(biāo)準(zhǔn)差隨 m 的變化。隨著 m 的增大，prob(Y ≥ 0.7) 向 1 逼近（即我們越來越確定總會有一些基金脫穎而出，年化收益率超過 70%）。這種判斷也同樣可以被 Y 的均值和方差來證明：隨著基金個數(shù)的增大，最好的基金的年化收益率的均值也在增加，且標(biāo)準(zhǔn)差在減小。

這個結(jié)果告訴我們，看到各種榜單上無敵的產(chǎn)品根本不足為奇。但我們內(nèi)心真正關(guān)心的問題是：這些上榜的基金取得的優(yōu)異業(yè)績靠的到底是運氣（比如評比的當(dāng)年的市場恰好適合它們的策略），還是一套真正的科學(xué)投資體系？看看基金的排名，不禁讓人心灰意冷。

下圖為 2015 年凈值增長最高的前 12 支偏股混合型基金。這些在 2015 年風(fēng)光無限的基金在 2014 年如何呢？可謂慘不忍睹。我不想不負(fù)責(zé)任的基于此就認(rèn)為這些基金 2015 年的表現(xiàn)純粹是來自運氣。但同樣的，如果讓我來選基金，我也不會把投資人的錢輕易的就交給它們管理。畢竟，短期的“運氣”無法說明任何“能力”。這不是“實力強”，而是“人生狀態(tài)比較好”。

4 巴菲特的深意

下面我們回頭來看巴菲特的例子。他通過猜硬幣的例子真正想說明的是，如果猜對的 250 個人僅僅憑借的是運氣，那么按照隨機性，這些人應(yīng)該來自美國的各個不同的地方。但是，如果這些人里面有大一部分（遠超過隨機性所對應(yīng)的數(shù)字）來自一個名為“格倫厄姆和多德的小鎮(zhèn)”呢？那就要好好看看這些出自該小鎮(zhèn)的人擁有哪些共同的特質(zhì)。

眾所周知，格倫厄姆和多德是價值投資的開山鼻祖，而巴菲特?zé)o異于最好的繼承者。他通過這個例子想要說明的是，價值投資是一個經(jīng)過風(fēng)雨考驗的科學(xué)投資系統(tǒng)，這些真正掌握該系統(tǒng)的人會長屹立于證券投資之林，這些人在投資界可以做到靠真正的能力來持續(xù)的“猜對硬幣”（賺到錢）。

時間才是檢驗一個基金或者一個基金經(jīng)理是否優(yōu)異的唯一標(biāo)準(zhǔn)。

為此，我們從時間維度再做最后一個實驗。我們?nèi)匀患僭O(shè)一個基金年化收益率 X 的分布符合正態(tài)分布。此外，我們考慮該基金在連續(xù) T 年內(nèi)中最差的那一年的收益率作為評價該基金水平的一個標(biāo)準(zhǔn)，令 Z 代表這個收益率，因此我們有 Z =?min(X_1, X_2, …, X_T)。

假設(shè)該基金的年化收益率為 N(0.2, 0.3)，并令 T = 5 年。Z 的分布如下圖所示。Z 的均值為 -14.4%，標(biāo)準(zhǔn)差為 20.0%。最差年份中，期望收益為虧損 14% 以上。面對 20% 的期望收益，恐怕沒有人想遇到這樣的年景。

這支基金年化收益率的期望有?20%，似乎足夠吸引人。但是，之所以產(chǎn)生這么差的結(jié)果是因為該基金年化收益率分布的標(biāo)準(zhǔn)差太大（我們假設(shè)?0.3）。標(biāo)準(zhǔn)差是用來衡量一支基金的穩(wěn)定程度，那自然越小越好；越小說明年與年之間，它的表現(xiàn)越穩(wěn)定。

這個結(jié)論不難證明。假設(shè)其他條件不變而僅改變收益率標(biāo)準(zhǔn)差后，得到的 Z 的均值如下圖所示，可見標(biāo)準(zhǔn)差越小（即基金的水平越穩(wěn)定），最差年份的收益率才會越高。

時間永遠是穩(wěn)定性最大的敵人。上面的實驗僅僅考慮了 5 年的情況。如果我們把時間拉長又會怎樣呢？不同的收益率標(biāo)準(zhǔn)差能否禁得起時間的考驗?zāi)?？下圖顯示了標(biāo)準(zhǔn)差分別為 2%，5%，以及 10% 的情況（收益率期望仍然為 20%），時間跨度從5年到30年。當(dāng)一個基金足夠穩(wěn)?。?biāo)準(zhǔn)差為 2%），它在 30 年內(nèi)的最差收益的期望也不會差到哪里。但如果它不夠穩(wěn)?。?biāo)準(zhǔn)差為 10%），它的表現(xiàn)一定是會在時間面前褪色的。

時間又從來都是一個科學(xué)投資體系的朋友。上圖同時說明，隨著時間的正常，這三個不同 sigma 的曲線之間的差距逐漸增大。這說明，如果僅僅看短期（3 到 5 年），我們還無法準(zhǔn)確的判斷濫竽充數(shù)者，但它們一定會在時間的沖刷下原形畢露的。但是，我們國內(nèi)的基金又有多少有 10 年甚至更長的歷史呢？那些“著名”的基金經(jīng)理又有多少有記載可回溯的 track record 呢？在這種背景下就來大搞 MOM 和 FOF，在我看來是國內(nèi)投資界所面對的困擾。再來看看巴菲特的表現(xiàn)。下圖是美國擁有 30 年以上歷史的基金的信息率（類似夏普率）分布圖。在 30 年尺度的丈量下，巴菲特的表現(xiàn)有目共睹（排名第二）。這也許是對來自“格倫厄姆和多德小鎮(zhèn)”的投資者最好的褒獎。

5 結(jié)語

優(yōu)秀的業(yè)績是靠運氣還是來自實力？時間是評判這一切的唯一標(biāo)準(zhǔn)。面對一個潛在的好的策略或者基金產(chǎn)品，我們切記不要被它完美的業(yè)績所迷惑雙眼，必須時刻保持理智，冷靜的對其歷史業(yè)績進行業(yè)績歸因，客觀的考量投資團隊以及風(fēng)控體系。這一切有不得半點馬虎，來不得半點急躁。

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