作者：石川

摘要：FRAMA 利用分形原理計(jì)算時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)相似性，從而確定平滑參數(shù)，是一個(gè)優(yōu)秀的移動(dòng)平均算法。

1 引言

本期精選技術(shù)指標(biāo)系列的主角是分形自適應(yīng)移動(dòng)平均 FRactal Adaptive Moving Average，簡(jiǎn)稱?FRAMA。它是一種高級(jí)移動(dòng)均線算法。與上期的?HMA?一樣，我們重點(diǎn)講一講?FRAMA?作為移動(dòng)平均線的特點(diǎn)和優(yōu)勢(shì)；僅以兩個(gè)非常簡(jiǎn)單的擇時(shí)策略例子說明它在擇時(shí)方面的作用，但并不對(duì)擇時(shí)策略做過多的參數(shù)優(yōu)化或分析。

2 含義和計(jì)算公式

顧名思義，分形自適應(yīng)移動(dòng)平均利用了投資品價(jià)格序列的分形特征（對(duì)于不熟悉分形的讀者，請(qǐng)參考《分形市場(chǎng)假說》）。簡(jiǎn)單地說，FRAMA 是一個(gè)動(dòng)態(tài)的指數(shù)移動(dòng)平均。它的算法通過一個(gè)簡(jiǎn)單但有效的公式計(jì)算從當(dāng)前時(shí)刻往前的長(zhǎng)度為?2T?的時(shí)間窗口內(nèi)時(shí)間序列的分形維數(shù)?D，并利用分形維數(shù)進(jìn)一步求解指數(shù)移動(dòng)平均的衰減參數(shù)?alpha。這使得 FRAMA 均線在保證移動(dòng)平均線平滑的同時(shí)，大大降低了移動(dòng)平均線的滯后性。（對(duì)于移動(dòng)平均的詳細(xì)介紹見《移動(dòng)平均：你知道的與你不知道的》。）

分形維數(shù)描述時(shí)間序列的趨勢(shì)，其取值在 1 到 2 之間，越大說明趨勢(shì)越明顯，越小說明時(shí)間序列越隨機(jī)。通過連續(xù)的計(jì)算時(shí)間序列局部的分形維數(shù)，該算法根據(jù)時(shí)間序列自身的統(tǒng)計(jì)相似性特征，動(dòng)態(tài)、自適應(yīng)地計(jì)算平滑所用的參數(shù)。由于 alpha 是 D 的減函數(shù)，因此 D 越大（趨勢(shì)越明顯），alpha 越小，即指數(shù)平滑時(shí)對(duì)過去的數(shù)值衰減的越慢；D 越?。S機(jī)性越強(qiáng)），alpha 越大，即指數(shù)平滑時(shí)對(duì)過去的數(shù)值衰減的越快、對(duì)最新數(shù)據(jù)的變化越敏感。

具體的，對(duì)于當(dāng)前時(shí)點(diǎn)?t?和給定的窗口?2T，該方法用到了三個(gè)時(shí)間窗口，即?t?到?t-T+1（記為窗口?W1，長(zhǎng)度為?T），t-T?到?t-2T+1（記為窗口?W2，長(zhǎng)度為?T），以及?t?到?t-2T+1（記為窗口?W，長(zhǎng)度為?2T）。不難看出，W = W1 + W2。FRAMA 的計(jì)算過程如下：

如果想讓 SMA 達(dá)到相同的滯后效果，就必須使用更短的窗口來計(jì)算（但更短的窗口會(huì)保留一定的高頻誤差）。下圖為 52 周窗口計(jì)算的 FRAMA 和?8 周窗口計(jì)算的 SMA 的比較。在使用了更短的窗口之后，SMA 的滯后性大大減弱，效果和 FRAMA 相似，但同時(shí) SMA 變的不夠平滑、展現(xiàn)出了比 FRAMA 更大的波動(dòng)?？梢?，SMA 減小滯后性是以犧牲移動(dòng)均線的平滑性為前提的。

3 基于 FRAMA 的簡(jiǎn)單擇時(shí)

由于移動(dòng)均線捕捉低頻趨勢(shì)，因此我們可以基于此構(gòu)建一個(gè)簡(jiǎn)單的擇時(shí)策略：

假設(shè)不考慮任何交易成本，我們比較52周時(shí)間窗口下用?FRAMA?和?SMA?兩個(gè)移動(dòng)均線算法得到的策略在上證指數(shù)的擇時(shí)效果：

圖中，藍(lán)色為 FRAMA 擇時(shí)凈值，而綠色為 SMA 擇時(shí)凈值。（為了突出它們的差距，我們特意沒有將縱坐標(biāo)對(duì)數(shù)化。）在過去 15 年里，F(xiàn)RAMA 簡(jiǎn)單擇時(shí)策略可以取得 16.1% 的年化收益；它的最大回撤為 32.3%，平均回撤為 13.6%；另一方面，因?yàn)橛?jì)算均值的時(shí)間窗口較長(zhǎng)（52 期），SMA 產(chǎn)生了巨大的滯后性，導(dǎo)致基于它的擇時(shí)策略效果很差，其年化收益率僅為 7.4%，最大回撤達(dá)到 58.9%，平均回撤 32.1%。

我們減少計(jì)算 SMA 的時(shí)間窗口，以 8 周為窗口計(jì)算，從而降低它的滯后性，得到的凈值和 52 期窗口的 FRAMA 凈值比較如下：

在選擇了短的時(shí)間窗口后，SMA 的滯后性大大降低，因此其凈值大幅提高，達(dá)到了與 FRAMA 接近的收益率和回撤水平。在回測(cè)期內(nèi)，基于 8 周窗口的 SMA 擇時(shí)策略取得 15.9% 的年化收益率，最大回撤和平均回撤分別為 32.9% 和 12.7%。

本文的目的是為了說明 FRAMA 的原理和特點(diǎn)。我們不繼續(xù)深入探討基于 FRAMA 的擇時(shí)策略。

4 結(jié)語

移動(dòng)平均線是技術(shù)分析中一種分析股票價(jià)格時(shí)間序列的常用工具。移動(dòng)平均可撫平短期波動(dòng)（高頻噪聲），反映出中長(zhǎng)期趨勢(shì)，輔助投資者做出投資判斷。FRAMA 是一個(gè)優(yōu)秀的移動(dòng)平均算法，它利用時(shí)間序列本身的分形特征，在保證均線平滑性的同時(shí)降低了移動(dòng)平均的滯后性。這有助于投資者對(duì)趨勢(shì)的變化做出及時(shí)的判斷。

無論是什么技術(shù)指標(biāo)，若想通過它持續(xù)地賺到錢，必須充分理解該指標(biāo)的原理和它們反映的本質(zhì)、并堅(jiān)持使用它。對(duì)于任何指標(biāo)，必須判斷它是否適合我們面對(duì)的市場(chǎng)。通過嚴(yán)格的歷史回測(cè)和分析，可以計(jì)算出技術(shù)指標(biāo)的有效性。此外，隨著市場(chǎng)自身內(nèi)在的變化，回測(cè)中有效的技術(shù)指標(biāo)也許會(huì)在將來的某一天失效。因此我們應(yīng)用動(dòng)態(tài)和發(fā)展的眼光看問題，不斷的檢驗(yàn)指標(biāo)是否持續(xù)有效。

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