式中下標(biāo) 1 和 5 分別代表一年和五年的滾動(dòng)窗口。該關(guān)系式說明，β_FP 等價(jià)于傳統(tǒng) β 乘以一個(gè)系數(shù)；即個(gè)股的 (σ_1/σ_5) 與市場(chǎng)的 (σ_1/σ_5) 之比。Novy-Marx and Velikov (2018) 通過實(shí)證研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)市場(chǎng)自身處于高波動(dòng)時(shí)，個(gè)股的 σ_1/σ_5 和市場(chǎng)的 σ_1/σ_5 之間的彈性小于 1；反之，當(dāng)市場(chǎng)自身處于低波動(dòng)時(shí)，二者之間的彈性大于 1。這意味著當(dāng)市場(chǎng)處于高波動(dòng)時(shí)，β_FP 比 β 更低；而當(dāng)市場(chǎng)處于低波動(dòng)時(shí)，β_FP比 β 更高。因此，若使用 β_FP 作為股票的 beta 值，則按市值加權(quán)后得到的全市場(chǎng) beta 并不等于 1（下圖）。這就是 β_FP 不夠合理的證據(jù)。

公允的說，低 β 異象早已被學(xué)術(shù)界和業(yè)界接受。但是 BAB 因子 on paper 的超高收益確實(shí)值得警惕，因?yàn)樵诳紤]了交易成本之后，BAB 因子的實(shí)際效果要打很大的折扣，正如 Novy-Marx and Velikov (2018) 展示的那樣。

2?BAB: 杠桿約束 or 彩票偏好

BABAB 并非關(guān)于 BAB 的唯一爭(zhēng)議。另一組學(xué)術(shù)達(dá)人也為了到底如何解釋 BAB 而和 AQR 爭(zhēng)得“面紅耳赤”。只不過這一回，AQR 反擊了。

提出篇：Betting against beta（Frazzini and Pedersen 2014），JFE —— 對(duì)，還是它……

懟人篇：A lottery-demand-based explanation of the beta anomaly（Bali?et al. 2017），JFQA

反懟人篇：Betting against correlation: Testing theories of low-risk effect（Asness?et al. 2020），JFE

由前一節(jié)可知，F(xiàn)razzini and Pedersen (2014) 認(rèn)為 BAB 主要是由投資者的杠桿約束所驅(qū)動(dòng)。Bali?et al. (2017) 對(duì)此提出了不同的意見。故事要從 Bali, Cakici, and Whitelaw (2011) 提出的 MAX 效應(yīng)說起。所謂 MAX，是指過去一段時(shí)間內(nèi)股票的最大單日收益。MAX 越大的股票，未來收益顯著更低，且該效應(yīng)非常穩(wěn)健。即便控制了規(guī)模、BM 和動(dòng)量，以及特質(zhì)性波動(dòng)率等，都無法解釋 MAX。MAX 效應(yīng)也被稱為彩票偏好（lottery preference 或 lottery demand）。

利用 MAX，Bali?et al. (2017) 通過四個(gè)步驟狠狠懟了 BAB 一把。在開始之前，他們首先承認(rèn)，低 β 異象可以獲得顯著的超額收益，但之后便正式開懟。該文首先考察了 MAX 和 β 的雙重排序分組，發(fā)現(xiàn)在每一 MAX 分組中，低 β 異象的超額收益都不再顯著。相反，MAX 效應(yīng)在每一 β 分組中卻高度顯著。此外平均 MAX 效應(yīng)甚至比 MAX 單變量分組下還要顯著。

接著，他們利用 Fama-MacBeth regression 考察了額外控制其他變量時(shí)的情況。結(jié)果顯示，當(dāng)加入 MAX 后，β 的溢價(jià)顯著為正（注意，是正喲，這和 BAB 完全滿擰！）。而 MAX 則在所有模型中都高度顯著為負(fù)。在此基礎(chǔ)上，他們利用市值和 MAX 雙重排序構(gòu)造了 FMAX 因子，并表明 FMAX 因子有助于解釋 β 組合的表現(xiàn)。最后，他們祭出了大招，比較了 FMAX 和 BAB 是否可以解釋對(duì)方。結(jié)果顯示，F(xiàn)MAX（加上 Fama-French 三因子以及 Carhart 的動(dòng)量因子）可以解釋 BAB ，但反過來，F(xiàn)MAX 因子卻總能獲得顯著的負(fù)超額收益。綜上，Bali, et al. (2017) 認(rèn)為，BAB 只是 MAX 效應(yīng)的反應(yīng)，而彩票偏好才是 BAB 的合理解釋。

在 2014 年的 working paper 中，該文直接被取名為 Betting against Beta or Demand for Lottery，火藥味要濃得多。而在正式發(fā)表的版本中，題目變?yōu)榱?A Lottery-Demand-Based Explanation of the Beta Anomaly，已然溫和許多。

當(dāng)然，AQR 天團(tuán)可不會(huì)甘心被懟。Asness?et al. (2020) 一文針鋒相對(duì)地進(jìn)行回應(yīng)，認(rèn)為 BAB 有效是因?yàn)?BAC —— Betting against correlation（BAC）—— 而非彩票偏好的原因。這篇文章剛在 Journal of Financial Economics 正式見刊，仔細(xì)考察了在控制了波動(dòng)率（即也就控制了與其相關(guān)的 MAX）之后的 BAC 因子是否可以獲得顯著的超額收益。

為了構(gòu)建 BAC 因子，Asness?et al. (2020) 首先在每月末將股票按照波動(dòng)率分為 5 組，然后在每組內(nèi)進(jìn)一步按照相關(guān)性分為兩組，接著用與 BAB 相同的排序加權(quán)法構(gòu)建多空兩端，最后構(gòu)建 β 中性多空組合。他們也用類似的方法構(gòu)建了低波動(dòng)因子 BAV —— betting against volatility。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，BAC 和 BAV 都可以獲得顯著且穩(wěn)健的超額收益。

最為精彩的是，為了檢驗(yàn)杠桿約束假說，Asness?et al. (2020) 考察了保證金借款余額對(duì) BAB 和 BAC 因子的影響。當(dāng)事前的保證金借款較低，即杠桿約束較高時(shí)，BAB 和 BAC 因子的表現(xiàn)都顯著更好。這是支持杠桿約束假說的有力證據(jù)。

為了檢驗(yàn)彩票偏好的影響，該文則做了一項(xiàng)非常有創(chuàng)造性的研究，引入了（經(jīng) GDP 標(biāo)準(zhǔn)化的）賭場(chǎng)的季度分紅變化來表征博彩偏好。結(jié)果表明，它對(duì) MAX 效應(yīng)有顯著影響，但對(duì) BAB 因子卻沒有顯著的影響。由這些結(jié)果可知，杠桿約束假說是 BAB 的合理解釋之一，而關(guān)于彩票偏好假說，則沒有一致的結(jié)論。

此外，其他學(xué)者也就這個(gè)問題插了一腳。Schneider, Wagner, and Zechner (2020) 這篇 Journal of Finance? 的文章認(rèn)為所有低風(fēng)險(xiǎn)異象都是因?yàn)楹雎粤藚f(xié)偏度所致。他們力圖將低風(fēng)險(xiǎn)異象一網(wǎng)打盡。但顯然，相關(guān)的研究和爭(zhēng)論并不會(huì)就此終結(jié)。

3?特質(zhì)性波動(dòng)率之謎

說起“懟”與“被懟”，就自然不得不提和 BAB 同屬于低風(fēng)險(xiǎn)異象一族的另一個(gè)異象 —— 特質(zhì)性波動(dòng)率。

提出篇：The cross-section of volatility and expected returns（Ang et al. 2006），JF

懟人篇：Idiosyncratic risk and the cross-section of expected stock returns（Fu 2009），JFE

解惑篇：Arbitrage asymmetry and the idiosyncratic volatility puzzle（Stambaugh, Yu, and Yuan 2015），JF

股票的風(fēng)險(xiǎn)分為系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)和特質(zhì)性風(fēng)險(xiǎn)兩部分，后者可以通過特質(zhì)性波動(dòng)率（Idiosyncratic Volatility）來衡量。由于特質(zhì)性波動(dòng)率可以通過分散化投資而被抵消，因此傳統(tǒng)金融理論認(rèn)為特質(zhì)性風(fēng)險(xiǎn)和預(yù)期收益之間不應(yīng)有什么關(guān)聯(lián)。然而，2006 年一篇發(fā)表于 Journal of Finance 的文章（Ang?et al. 2006）打破了這個(gè)這種觀點(diǎn)。該文在當(dāng)時(shí)引起了很大的反響，時(shí)至今日其 google scholar 引用已超過 3000 次。BTW，這篇文章的一作是搞事情小組 llanglli 的男神。Ang et al. (2006) 發(fā)現(xiàn)特質(zhì)性波動(dòng)率高的股票在未來預(yù)期收益率更低，說明了二者之間的負(fù)相關(guān)。三年后，Ang et al. (2009) 又在 Journal of Financial Economics 上發(fā)文，通過來自美國和全球的更多實(shí)證結(jié)果說明特質(zhì)性波動(dòng)率和預(yù)期收益率之間的負(fù)相關(guān)性。

Ang et al. (2006) 引發(fā)了學(xué)術(shù)界大討論?！皯凰钡难芯砍霈F(xiàn)了很多，其中代表作要數(shù) Fu (2009)。該文發(fā)表于 Journal of Financial Economics，其 google scholar 引用也超過 1000 次。如果僅看論文標(biāo)題，Ang et al. (2006) 和 Fu (2009) 都讓人傻傻分不清，但后者卻提出特質(zhì)性波動(dòng)率和收益率之間存在正相關(guān)。它認(rèn)為 Ang et al. (2006) 發(fā)現(xiàn)的負(fù)相關(guān)源于一小撮高特質(zhì)性波動(dòng)率股票收益率的反轉(zhuǎn)。眾所周知，實(shí)證研究往往容易踏入 data snooping 的陷阱，所以結(jié)果出現(xiàn)矛盾也并不令人意外。事實(shí)上，對(duì)于特質(zhì)性波動(dòng)率和預(yù)期收益率的關(guān)系，學(xué)術(shù)界的結(jié)論尚無定論 —— 無論是正相關(guān)、負(fù)相關(guān)還是沒有顯著關(guān)系，都有研究結(jié)果所支持。但是，更多的結(jié)果還是發(fā)現(xiàn)特質(zhì)性波動(dòng)率和收益率之間的負(fù)相關(guān)。這個(gè)現(xiàn)象也被稱作特質(zhì)性波動(dòng)率之謎。

2015 年，Stambaugh, Yu, and Yuan (2015) 在 Journal of Finance 發(fā)文，從套利不對(duì)稱性（arbitrage asymmetry）的角度對(duì)特質(zhì)性波動(dòng)率之謎進(jìn)行了解釋。該文非常精彩，而其核心觀點(diǎn)可以總結(jié)到下面這張 portfolio sort test 結(jié)果。它們發(fā)現(xiàn)，在最被高估的股票中，特質(zhì)性波動(dòng)率和收益率呈負(fù)相關(guān)；而在最被低估的股票中，特質(zhì)性波動(dòng)率和收益率呈正相關(guān)。搞事情小組之前的文章《特質(zhì)性波動(dòng)率之謎》對(duì)該文做過詳細(xì)的解讀，不再贅述。

下圖是搞事情小組針對(duì) A 股進(jìn)行的最新實(shí)證結(jié)果，從中也可以看出和 Stambaugh, Yu, and Yuan (2015) 針對(duì)美股的結(jié)果大體上一致。唯一例外是在最被低估的股票中，特質(zhì)性波動(dòng)率最高的一組收益率仍然非常低，這可能和 A 股的高噪音和高換手率有關(guān)，值得進(jìn)一步研究。

4?毛利潤(rùn)還是凈利潤(rùn) ?

2013 年，Novy-Marx 憑借發(fā)表在 Journal of Financial Economics 上的盈利因子一戰(zhàn)成名?？蓻]成想，兩年之后就被會(huì)計(jì)學(xué)大佬 Ray Ball 同樣在 JFE 上發(fā)文回?fù)袅恕?/span>

提出篇：The other side of value: The gross profitability premium（Novy-Marx 2013），JFE

懟人篇：Deflating profitability（Ball?et al. 2015），JFE

Novy-Marx (2013) 認(rèn)為毛利潤(rùn)要比凈利潤(rùn)更好。首先，毛利潤(rùn)代表最真實(shí)的經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)能力，是整個(gè)企業(yè)所有投入者（債權(quán)人和股東）努力的結(jié)果。其次，毛利潤(rùn)包含了研發(fā)投入和廣費(fèi)用告投入等費(fèi)用，這些費(fèi)用事實(shí)上有利于企業(yè)未來的盈利，因此不應(yīng)該扣減掉。第三，毛利潤(rùn)總體來說更干凈和純粹 —— 利潤(rùn)表越往下，受操縱的科目可能越多，越有可能不真實(shí)。

Novy-Marx (2013) 使用 portfolio sort test 以及 Fama-Macbeth regression 發(fā)現(xiàn)，毛利潤(rùn)/總資產(chǎn)（GP）具有和BM 一樣的預(yù)測(cè)能力，GP 越高的公司表現(xiàn)遠(yuǎn)遠(yuǎn)好于 GP 低的公司。而另一方面，凈利潤(rùn)/凈資產(chǎn)因子效果不如 GP，并且部分能被 GP 解釋。為什么上面把兩個(gè)分母用紅色標(biāo)出來了？當(dāng)然是為了埋伏筆！除此之外，Novy-Marx (2013) 也檢驗(yàn)了 GP 因子能否幫助解釋異象。他使用經(jīng)行業(yè)中性化處理后的 BM、動(dòng)量以及 GP 構(gòu)建了價(jià)值、動(dòng)量和盈利三因子，與市場(chǎng)一起組成了四因子模型。并使用 15 個(gè)異象將該模型與 Carhart 四因子模型比較，發(fā)現(xiàn)該模型的表現(xiàn)要好得多。不但提出了如今人盡皆知的盈利因子，還順手搞出了一個(gè)四因子模型，Novy-Marx (2013) 可謂是近年來發(fā)表在 JFE 上最亮的仔之一。

盡管該文影響不小，但還是有大佬不買賬。Ball?et al. (2015) 認(rèn)為毛利潤(rùn)和凈利潤(rùn)具有相似的信息，之所以毛利潤(rùn)比凈利潤(rùn)具有更高的預(yù)測(cè)能力，僅僅是因?yàn)椴捎昧瞬煌姆帜?/span>。當(dāng)毛利潤(rùn)和凈利潤(rùn)都用相同的分母時(shí)（例如分母均為總資產(chǎn)），兩者表現(xiàn)會(huì)極其相似；此外，如果把分母都換成凈資產(chǎn)，則凈利潤(rùn)要優(yōu)于毛利潤(rùn)。緊接著，Ball?et al. (2015) 指出 GP = 毛利潤(rùn)/總資產(chǎn)。它可以被分解成 (毛利潤(rùn)/市值) × (市值/總資產(chǎn)) 或 (毛利潤(rùn)/BM) × (BM/總資產(chǎn))。因此，GP 因子的預(yù)測(cè)能力可能僅僅來自上述分解后的分項(xiàng)，而非兩部分相乘得到的 GP。如果確實(shí)是這種情況，那么僅考慮 GP 則存在遺漏變量問題。利用 Fama-MacBeth regression，他們發(fā)現(xiàn)關(guān)于 GP 預(yù)測(cè)能力的來源的總體結(jié)果是 mixed：對(duì)于微小市值股和其他股票，其背后的來源有所不同。

最后，既然當(dāng)分母相同時(shí)，毛利潤(rùn)和凈利潤(rùn)的效果差不多，這說明介于毛利潤(rùn)和凈利潤(rùn)之間的會(huì)計(jì)科目（SG&A、折舊攤銷和稅費(fèi)等）并沒有被嚴(yán)重污染和操縱。以此為前提，作為會(huì)計(jì)學(xué)大牛，Ray Ball 充分發(fā)揮了自己的專業(yè)特長(zhǎng)，考察了二者之間的多項(xiàng)費(fèi)用指標(biāo)對(duì)股票未來收益的預(yù)測(cè)能力。結(jié)果顯示，毛利潤(rùn)有顯著為正的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)，而銷售與管理費(fèi)用（SG&A）同股票未來收益顯著負(fù)相關(guān)，其他指標(biāo)則沒有顯著的預(yù)測(cè)能力。

由于 SG&A 總是有顯著的預(yù)測(cè)能力，因此營(yíng)業(yè)利潤(rùn)（operating profitability）指標(biāo)的預(yù)測(cè)力應(yīng)當(dāng)強(qiáng)于毛利潤(rùn)。實(shí)證結(jié)果支持了上述猜想。Fama-MacBeth regression 結(jié)果顯示，營(yíng)業(yè)利潤(rùn) t-statistic 高達(dá) 8.92，遠(yuǎn)高于毛利潤(rùn)的 5.27。因此，營(yíng)業(yè)利潤(rùn)是比毛利潤(rùn)更好的盈利因子變量。想來不禁讓人感慨，Novy-Marx 曾寫文章“懟了”BAB，而如今讓他成名的盈利因子也被別人“懟了”。蒼天饒過誰？

5?Time Series Momentum: Is it there ?

再來看近年來另外一篇很火的文章，AQR 的 Time series momentum。

提出篇：Time series momentum（Moskowitz, Ooi, and Pedersen 2012），JFE

懟人篇：Time series momentum: Is it there?（Huang?et al. 2020），JFE

近年來，AQR 在頂刊上先后發(fā)表了兩篇和動(dòng)量有關(guān)的論文，一篇是 Value and momentum everywhere（Asness, Moskowitz, and Pedersen 2013），另一篇就是本節(jié)要討論的 Time series momentum（Moskowitz, Ooi, and Pedersen 2012）。后者發(fā)表于 Journal of Financial Economics，系統(tǒng)的討論了不同大類資產(chǎn)中普遍存在的時(shí)序動(dòng)量現(xiàn)象并提出了一個(gè) TSMOM 時(shí)序動(dòng)量因子。而在 Moskowitz, Ooi, and Pedersen (2012) 發(fā)表 8 年后，同樣一篇來自 Journal of Financial Economics 的論文對(duì)其提出了強(qiáng)烈的質(zhì)疑，該文就是 Huang?et al. (2020)，它的題目對(duì) Time series momentum 進(jìn)行了靈魂發(fā)問：Is it there? 豪橫！

Moskowitz, Ooi, and Pedersen (2012) 分三步，步步為營(yíng)，提出了 TSMOM 因子；而 Huang?et al. (2020) 也分三步，各個(gè)擊破，反對(duì)了 TSMOM 因子。先來說 Moskowitz, Ooi, and Pedersen (2012)。在第一步中，它對(duì)跨 4 大類的 55 個(gè)資產(chǎn)使用如下的 pooled regression 分析了過去第 t – h 期收益率（注意，這是單期收益率）對(duì) t 期收益率的預(yù)測(cè)能力。在回歸中，解釋變量和被解釋變量都被波動(dòng)率進(jìn)行了標(biāo)準(zhǔn)化。

他們發(fā)現(xiàn)，當(dāng) h 取值為 1 到 12 時(shí)，在不同的資產(chǎn)上幾乎都可以關(guān)注到顯著的預(yù)測(cè)能力。根據(jù)上述結(jié)果，他們?cè)诘诙竭M(jìn)而考察了不同長(zhǎng)度的 lookback period 對(duì)未來不同長(zhǎng)度的 holding period 收益率的預(yù)測(cè)性。換句話說，既然第一步證明了過去很多單月都能預(yù)測(cè)未來，那么把它們合在一起的總收益應(yīng)該更是如此。在這一步中，Moskowitz, Ooi, and Pedersen (2012) 發(fā)現(xiàn)對(duì)于不同大類資產(chǎn)，眾多 lookback period/holding period 組合都能獲得顯著超額收益。接下來就是第三步，提出 TSMOM 因子?；诘诙降慕Y(jié)果，Moskowitz, Ooi, and Pedersen (2012) 選擇過去 12 個(gè)月的總收益率計(jì)算動(dòng)量，按如下方法確定因子中資產(chǎn)的權(quán)重（S_t 為 t 期資產(chǎn)個(gè)數(shù)）：

上式中有兩點(diǎn)值得說明。首先，通過資產(chǎn)過去 12 個(gè)月的總收益率正、負(fù)決定資產(chǎn)屬于因子的多頭還是空頭。回憶一下截面動(dòng)量，它用的是 t – 12 到 t – 1 月之間的總收益率，而上式中并沒有剔除最近的一個(gè)月；且截面動(dòng)量是看相對(duì)強(qiáng)弱，即在截面上把資產(chǎn)排序后再依照排序高低確定多空頭，而時(shí)序動(dòng)量則僅僅根據(jù)自身收益率的正負(fù)。第二，該權(quán)重中有一項(xiàng) volatility scaling，即 40%/σ。這也在事后成為被懟的原因。

再來看 Huang?et al. (2020) 的三步擊破。首先，Huang?et al. (2020) 考察了過去 12 個(gè)月的累積收益率對(duì)未來收益率預(yù)測(cè)能力在樣本內(nèi)外的差異。使用與 Moskowitz, Ooi, and Pedersen (2012) 相同的數(shù)據(jù)，他們發(fā)現(xiàn)在 55 個(gè)資產(chǎn)中，只有 47 個(gè)在 10% 的顯著性水平下顯著。而樣本外更是慘不忍睹 —— 顯著的資產(chǎn)個(gè)數(shù)下降到 3 個(gè)。其次，Huang?et al. (2020) 重點(diǎn)檢驗(yàn)了 Moskowitz, Ooi, and Pedersen (2012) 采用的 pooled regression，并指出該方法的一個(gè)致命問題 —— 沒有考慮 fixed effect，即不同資產(chǎn)收益率的均值是不一樣的。該文發(fā)現(xiàn)，當(dāng)控制了 fixed effect 之后，歷史單月收益率對(duì)未來收益率所謂的預(yù)測(cè)能力消失了，這無疑攻擊了 Moskowitz, Ooi, and Pedersen (2012) 的基礎(chǔ)。最后，Huang?et al. (2020) 抨擊了 TSMOM 因子本身，認(rèn)為它沾了 volatility scaling 的光，因而收益率被提升了。作為最后的“致命一擊”，該文提出了一個(gè)更簡(jiǎn)單的 TSH 策略，即使用每個(gè)品種上市以來到 t 期的所有歷史數(shù)據(jù)計(jì)算平均收益率，并使用它的符號(hào)進(jìn)行交易。檢驗(yàn)表明，TSH 策略和 TSMOM 因子并無差異，說明本質(zhì)上是擇時(shí)的 TSMOM 因子并沒有帶來什么額外的價(jià)值。關(guān)于這兩篇文章更詳細(xì)的解讀，請(qǐng)參考 [因子動(dòng)物園] 的《時(shí)序動(dòng)量真的更好嗎?》。

6?Bayesian Asset Pricing Test

除了在實(shí)證結(jié)果方面，學(xué)術(shù)界在方法論上也保留了“懟”與“被懟”的優(yōu)良傳統(tǒng)。而其中最具代表性的就是下面這兩篇均發(fā)布在 Journal of Finance 上的“硬剛”。

提出篇：Comparing asset pricing models（Barillas and Shanken 2018），JF

懟人篇：On comparing asset pricing models（Chib, Zeng, and Zhao 2020），JF

懟人篇的題目就在提出篇的題目之前加了一個(gè) on，表評(píng)論。漂亮！Barillas and Shanken (2018) 提出了一個(gè)比較多因子模型的貝葉斯方法。該文早期的 working paper 版本則早在 2015 年就出現(xiàn)。由于方法新穎，加之文章來自計(jì)量學(xué)大佬（Shanken 就是 GRS?test 里的 S），因此備受關(guān)注?？疾於嘁蜃幽Ｐ停?/span>

令 Σ = cov(ε)。Barillas and Shanken (2018) 假設(shè)模型的參數(shù) β 和 Σ 滿足特定的非正常先驗(yàn)分布（improper prior）—— 非正常分布指的是在其參數(shù)空間上的積分是無窮大的分布；在貝葉斯統(tǒng)計(jì)中，如果后驗(yàn)概率是正常的，那么仍然可以使用非正常先驗(yàn)分布。對(duì)于參數(shù) α，它在原假設(shè)下為零，在備擇假設(shè)下滿足多元正態(tài)條件分布：

在該方法中，因子收益率和資產(chǎn)收益率為觀測(cè)到的數(shù)據(jù)。有了參數(shù)和數(shù)據(jù)，該文通過計(jì)算邊際似然度（marginal likelihood）來比較不同的多因子模型。令 D 代表數(shù)據(jù)、M_i 代表第 i 個(gè)模型，則邊際似然函數(shù)為：

由定義可知，邊際似然度是在給定模型 M_i 下，觀察到數(shù)據(jù) D 的條件概率。在貝葉斯模型比較中，不同模型的后驗(yàn)幾率比與它密切相關(guān)。假設(shè)兩個(gè)多因子模型 M_i 和 M_j，則它們的后驗(yàn)概率之比滿足：

上式中，等號(hào)右側(cè)第一項(xiàng)是兩個(gè)模型先驗(yàn)概率之比；而第二項(xiàng)就是它們的邊際似然度之比，它又被稱為貝葉斯因子（Bayes factor）。在多因子模型比較中，通常假設(shè)兩個(gè)模型的先驗(yàn)概率一樣，因此邊際似然度的高低就會(huì)最終主宰模型的選擇。以上就是該貝葉斯方法的核心。

接下來看看“懟人篇”。2020 年，貝葉斯統(tǒng)計(jì)學(xué)的大佬 Siddhartha Chib 領(lǐng)銜同樣在 Journal of Finance 發(fā)文對(duì) Barillas and Shanken (2018) 的方法提出了質(zhì)疑（Chib, Zeng, and Zhao 2020）。該文直截了當(dāng)?shù)恼J(rèn)為該貝葉斯方法 unsound，并給出了改進(jìn)方法。

Chib, Zeng, and Zhao (2020) 指出上述貝葉斯方法中參數(shù)的先驗(yàn)設(shè)定存在問題。簡(jiǎn)單地說，在具體使用時(shí)，在參數(shù) β 和 Σ 所滿足的非正常先驗(yàn)分布中需要確定一個(gè)常數(shù)的取值。而只有當(dāng)所有待比較的多因子模型滿足以下三個(gè)性質(zhì)時(shí)，采用邊際似然度來挑選模型才是合理的。這三個(gè)條件是：（1）不同模型的參數(shù) β_i 和 Σ_i（下標(biāo) i 代表模型 i）滿足同樣的非正常先驗(yàn)分布；（2）該分布中的常數(shù)對(duì)所有模型相同；（3）不同模型的參數(shù)空間一樣。Chib, Zeng, Zhao (2020) 進(jìn)一步指出 Barillas and Shanken (2018) 的模型并不滿足上述三個(gè)條件，因此使用他們采用的邊際似然度來比較模型是不正確的。針對(duì)上述問題，Chib, Zeng, and Zhao (2020) 對(duì)不同模型的參數(shù) β_i 和 Σ_i 需滿足的先驗(yàn)分布進(jìn)行了修正，并提出了改進(jìn)的貝葉斯方法，最后瀟灑的留下了一句：

The performance of our marginal likelihoods is significantly better, allowing for reliable Bayesian work on which factors are risk factors in asset pricing models.

由于兩篇文章都還比較新，未來 Barillas 和 Shanken 是否會(huì)做出回應(yīng)，以及學(xué)術(shù)界在使用貝葉斯方法比較多因子模型時(shí)是否會(huì)參考 Chib, Zeng, and Zhao (2020) 的結(jié)果，讓我們拭目以待。

7?誰家投資因子才合理 ？

提到實(shí)證資產(chǎn)定價(jià)的“懟”與“被懟”，不能不提 Fama and French 五因子模型（FF5）和 q-factor model 之間的恩怨情仇。公眾號(hào)前文《q-factor model 的一段往事》對(duì)此有過詳細(xì)的介紹。

提出篇：A five-factor asset pricing model（Fama and French 2015），JFE

爭(zhēng)鋒篇：Digesting anomalies: an investment approach（Hou, Xue, and Zhang 2015），RFS

懟人篇：Which factors?（Hou et al.?2019），Review of Finance

這其中，參與對(duì)比的是 Fama and French (2015) 這篇發(fā)表于 Journal of Financial Economics 的文章（它提出了 FF5）和 Hou, Xue, and Zhang (2015) 這篇發(fā)表于 Review of Financial Studies 的文章（它提出了 q-factor model）。這兩篇同年的文章同時(shí)將盈利和投資因子加入多因子模型，奠定了這兩個(gè)因子的地位。然而，它們的投資因子卻“形同意不同”，而真正站出來“懟人”的則是 Hou et al.?(2019)。該文以 Which factors? 為題深度對(duì)比了學(xué)術(shù)界到目前為止主流的多因子模型，并捎帶手對(duì) FF5 的投資因子進(jìn)行了全方位打擊。

FF5 和 q-factor model 均使用過去一個(gè)財(cái)年總資產(chǎn)的變化率來構(gòu)建投資因子，但出發(fā)點(diǎn)卻截然不同。Hou, Xue, and Zhang (2015) 從 q-theory 出發(fā)推導(dǎo)出歷史投資和未來預(yù)期收益率成反比，并基于該邏輯選擇總資產(chǎn)變化率構(gòu)建投資因子。而 Fama and French (2015) 則從股息貼現(xiàn)模型出發(fā)，推導(dǎo)出預(yù)期收益率和預(yù)期投資之間成反比，并使用歷史投資作為未來預(yù)期投資的 na?ve estimate，從而也采用總資產(chǎn)變化率構(gòu)建投資因子。Hou et al.?(2019) 指出股息貼現(xiàn)模型中的 IRR 和未來單期預(yù)期收益不同；從 valuation theory 出發(fā)實(shí)則推出預(yù)期收益和預(yù)期投資之間的正相關(guān)，而這也和 Fama and French (2006) 的實(shí)證結(jié)果一致。另一方面，實(shí)證結(jié)果顯示使用歷史投資預(yù)測(cè)未來預(yù)期投資并不靠譜。

結(jié)合上述兩點(diǎn)可知，F(xiàn)ama and French (2015) 使用過去投資構(gòu)建投資因子、且投資因子有效其實(shí)是“負(fù)負(fù)得正”的結(jié)果，它陰差陽錯(cuò)的利用了 q-theory 支持的歷史投資和收益率的負(fù)相關(guān)；而非從股息貼現(xiàn)模型導(dǎo)出的預(yù)期投資和預(yù)期收益率的負(fù)相關(guān)。這無疑撼動(dòng)了 FF5 中投資因子的根基。關(guān)于兩個(gè)模型的詳細(xì)解讀，請(qǐng)參考前文《從 Factor Zoo 到 Factor War，實(shí)證資產(chǎn)定價(jià)走向何方？》。2019 年，q-factor model 的作者之一張櫓教授應(yīng) Swedish House of Finance 邀請(qǐng)做了報(bào)告，介紹了他主張的 investment CAPM 理論。報(bào)告中，自然也少不了 q-factor model 和 FF5 的一番 PK。當(dāng)介紹到兩個(gè)模型的對(duì)比結(jié)果時(shí)，張教授也著實(shí)調(diào)侃了一番。他說道，這兩張 slides 就是他整個(gè)演講中最重要的。他花了 10 年的光陰才把這兩張圖放在一起（需要背景知識(shí)的小伙伴請(qǐng)看《q-factor model 的一段往事》?。?，并幽幽的留下一句：

Life works in mysterious ways.

下面就是張教授引以為豪的那兩張 slides。它們放在一起只傳遞出一個(gè)信息：q-factor model 吊打 FF5。

8?Bonus Round：因子擇時(shí)

沒錯(cuò)，你沒有看錯(cuò)，這一節(jié)還不是結(jié)語。上面七節(jié)已經(jīng)講完七對(duì)兒“懟”與“被懟”（甚至是“反懟”）了。但要說到因子投資中的爭(zhēng)議，因子擇時(shí)當(dāng)然也不能被落下。因此額外追加一節(jié)。由于話題之前已經(jīng)寫過了，因此這里就簡(jiǎn)單歸納下。感興趣的小伙伴可參考《還在對(duì)著一階矩做因子擇時(shí)？不妨試試二階矩》、《你家因子便宜嗎？—— 基于value spread的因子擇時(shí)研究》、《多因子策略的五大討論》等文章。關(guān)于因子擇時(shí)的“掐架”，有請(qǐng)來自 Research Affiliates 的 Robert Arnott 和來自 AQR 的 Cliff Asness。

自 2016 年以來，Robert Arnott 發(fā)表了一系列因子擇時(shí)的 working paper，題目都非?！皣虖垺?，比如 Timing 'Smart Beta' Strategies? Of Course! Buy Low, Sell High! 和 Forecasting Factor and Smart Beta Returns (Hint: History Is Worse than Useless)。Arnott 主張使用因子估值來擇時(shí)。毫無疑問，History is worse than useless 這樣刺眼的標(biāo)題無疑是為了抨擊了因子擇時(shí)中的另一流派 —— 按因子動(dòng)量擇時(shí)：

Selecting strategies or factors?based on past performance, regardless of the length of the sample,?will not help investors earn a superior return?and is actually more likely to hurt them. —— Arnott

面對(duì)如此“挑釁”，另一位大佬 Asness 坐不住了，他在多個(gè)場(chǎng)合多次抨擊了 Arnott 的觀點(diǎn)。在 2017 年，Asness 領(lǐng)銜在 Journal of Portfolio Management 上發(fā)表了一篇題為 Contrarian Factor Timing is Deceptively Difficult 的文章，回?fù)袅艘蜃庸乐祿駮r(shí)。該文的論點(diǎn)之一是按估值擇時(shí)有效的本質(zhì)是因?yàn)閮r(jià)值因子有效：

At first glance, valuation-based timing of styles appears promising, which is not surprising because it is a simple consequence of the efficacy of the value strategy itself.?—— Asness

2019 年，AQR 乘勝追擊，發(fā)表了一篇題為 Factor Momentum Everywhere 的文章，指出在全球的 65 個(gè)選股因子上觀察到了穩(wěn)健的動(dòng)量效應(yīng)、通過動(dòng)量擇時(shí)可以顯著提高收益：

Factor momentum adds significant incremental performance?to investment strategies that employ traditional momentum, industry momentum, value, and other commonly studied factors.

這篇文章雖然不直接出自 Asness，但畢竟也是 AQR 出品，并作為 JPM 2019 因子投資特刊的首篇文章被放在了最醒目的位置，足見其地位。由于正確因子擇時(shí)的誘惑實(shí)在是太高了，相信在未來，兩位大佬還會(huì)就這個(gè)問題繼續(xù) PK 下去。有意思的是，2008 年金融危機(jī)之后，價(jià)值因子便走上了一條“不歸路”，遠(yuǎn)遠(yuǎn)跑輸指數(shù)。而動(dòng)量因子則比價(jià)值因子要強(qiáng)不少。不知道按因子估值來擇時(shí)能否跑贏按動(dòng)量來擇時(shí)呢？

9?結(jié)語

WoW，今天這篇文章引用的參考文獻(xiàn)，幾乎全部來自三大頂刊。本文介紹了實(shí)證資產(chǎn)定價(jià)和因子投資領(lǐng)域頗具代表性的七對(duì)兒“懟”與“被懟”的文章（+ 因子擇時(shí)）。這些文章每篇單拿出來都值得反復(fù)研讀和學(xué)習(xí)，而兩兩放在一起則更能引發(fā)深刻的思考。集齊它們雖然無法召喚神龍，但是毫無疑問能夠加深我們對(duì)因子、異象以及檢驗(yàn)方法的理解。而作為吃瓜群眾，我們自然很希望發(fā)表在頂刊上的神仙打架能夠持續(xù)下去。建設(shè)性“懟人”，學(xué)科發(fā)展的必要催化劑。

參考文獻(xiàn)

Ang, A., R. J. Hodrick, Y. Xing, and X. Zhang (2006). The cross-section of volatility and expected returns.?Journal of Finance 61(1), 259 – 299.

Ang, A., R. J. Hodrick, Y. Xing, and X. Zhang (2009). High idiosyncratic volatility and low returns: international and further U.S. evidence.?Journal of Financial Economics 91(1), 1 – 23.

Asness, C. S., A. Frazzini, N. J. Gormsen, and L. H. Pedersen (2020). Betting against correlation: Testing theories of low-risk effect. Journal of Financial Economics 135(3), 629 – 652.

Asness, C. S., T. J. Moskowitz, and L. H. Pedersen (2013). Value and momentum everywhere.?Journal of Finance 68(3), 929 – 985.

Bali, T. G., S. J. Brown, S. Murray and Y. Tang (2017). A lottery-demand-based explanation of the beta anomaly. Journal of Financial and Quantitative Analysis 52(6), 2369 – 2397.

Bali, T. G., N. Cakici, and R. F. Whitelaw (2011). Maxing out: Stocks as lotteries and the cross-section of expected returns. Journal of Financial Economics 99(2), 427 – 446.

Ball, R., J. Gerakos, J. T. Linnainmaa, and V. V. Nikolaev (2015). Deflating profitability. Journal of Financial Economics 117(2), 225 – 248.

Barillas, F. and J. Shanken (2018). Comparing asset pricing models. Journal of Finance 73(2), 715 – 754.

Chib, S., X. Zeng, and L. Zhao (2020). On comparing asset pricing models. Journal of Finance 75(1), 551 – 577.

Fama, E. F. (1968). Risk, return and equilibrium: Some clarifying comments. Journal of Finance 23(1), 29 – 40.

Fama, E. F. and K. R. French (2006). Profitability, investment and average returns.?Journal of Financial Economics 82(3), 491 – 518.

Fama, E. F. and K. R. French (2015). A five-factor asset pricing model.?Journal of Financial Economics 116(1), 1 – 22.

Frazzini, A. and L. H. Pedersen (2014). Betting against beta.?Journal of Financial Economics 111(1), 1 – 25.

Fu, F. (2009). Idiosyncratic risk and the cross-section of expected stock returns.?Journal of Financial Economics 91(1), 24 – 37.

Hou, K., H. Mo, C. Xue, and L. Zhang (2019). Which factors??Review of Finance 23(1), 1 – 35.

Hou, K., C. Xue, L. Zhang (2015). Digesting anomalies: an investment approach.?Review of Financial Studies 28(3), 650 – 705.

Huang, D., J. Li, L. Wang, and G. Zhou (2020). Time Series Momentum: Is It There? Journal of Financial Economics?135(3), 774 – 794.

Lintner, J. (1965). Security prices, risk, and maximal gains from diversification. Journal of Finance 20(4), 587 – 615.

Moskowitz, T. J., Y. H. Ooi, and L. H. Pedersen (2012). Time Series Momentum.?Journal of Financial Economics?104(2), 228 – 250.

Novy-Marx, R. (2013). The other side of value: The gross profitability premium. Journal of Financial Economics 108(1), 1 – 28.

Novy-Marx, R. and M. Velikov (2018). Betting Against Betting Against Beta. Working paper.

Schneider, P., C. Wagner, and J. Zechner (2020). Low Risk Anomalies? Journal of Finance?75(5), 2673 – 2718.

Sharpe, W. F. (1964). Capital asset prices: A theory of market equilibrium under conditions of risk. Journal of Finance 19(3), 425 – 442.

Sharpe, W. F. (1966). Security prices, risk, and maximal gains from diversification: Reply. Journal of Finance 21(4), 743 – 744.

Stambaugh, R. F., J. Yu, and Y. Yuan (2015). Arbitrage asymmetry and the idiosyncratic volatility puzzle.?Journal of Finance 70(5), 1903 – 1948.

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