作者：石川

摘要：本文首先介紹了尾部相關(guān)性，并以此引出尾部風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)的概念。從風(fēng)險(xiǎn)的角度來說，一個(gè)好的投資組合中應(yīng)該同時(shí)擁有 convergent 和 divergent risk taking 的策略。

1 引言

年底適合聊聊風(fēng)險(xiǎn)。

在《艱難時(shí)刻需要堅(jiān)韌信仰》這篇文章的最后，我們提到了同一大類資產(chǎn)中的不同策略，盡管它們平時(shí)的相關(guān)性可能很低，但是當(dāng)極端事件出現(xiàn)時(shí)，它們的相關(guān)性會(huì)驟然上升，同時(shí)下跌造成虧損，無法起到分散風(fēng)險(xiǎn)的作用。不同策略在極端情況下的相關(guān)性稱為尾部相關(guān)性（tail correlation），它是進(jìn)行資產(chǎn)組合配置時(shí)需要考慮的關(guān)鍵因素之一。

本文將圍繞尾部風(fēng)險(xiǎn)展開討論。下文首先介紹尾部相關(guān)性，之后引出尾部風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)（tail risk parity）的概念，它被認(rèn)為比流行的風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)（risk parity）更能抗風(fēng)險(xiǎn)。最后會(huì)介紹兩個(gè)平時(shí)提的較少的兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)概念 —— convergent and divergent risk taking。（抱歉，實(shí)在找不出來特別合適的中文翻譯，但我保證會(huì)用中文大白話解釋清楚。）先來看看尾部相關(guān)性。

2 尾部相關(guān)性

尾部相關(guān)性衡量的是不同資產(chǎn)出現(xiàn)極端損失時(shí)的相關(guān)性。為了計(jì)算它，最簡(jiǎn)單的辦法可以采用條件概率計(jì)算條件相關(guān)性。但是，業(yè)界主流的做法是通過 VaR（Value at Risk）或者 ES（Expected Shortfall）來反推尾部相關(guān)性，這樣得到的結(jié)果稱為 VaR-implied tail correlation 或 ES-implied tail correlation。本文介紹后面這種方法。Liu (2016) 使用 Campbell et al. (2002) 的模型，假設(shè)資產(chǎn) i 的收益率 r_i 分布滿足如下形式：

其中 μ_i、σ_i 分別為均值和標(biāo)準(zhǔn)差，Z_i 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。由上述分布模型以及 VaR 的定義可知，資產(chǎn) i 的 α 分位數(shù)的 VaR 為：

假設(shè)某投資組合 P 由兩個(gè)資產(chǎn)按照權(quán)重 w_1 和 w_2 構(gòu)成，則根據(jù)定義，投資組合 P 的收益率的標(biāo)準(zhǔn)差滿足：

將 VaR 定義中右側(cè)的 σ_i 代入上式，并利用 VaR(Z_1) = VaR(Z_2) = VaR(Z_P) 化簡(jiǎn)，最終得到兩個(gè)資產(chǎn)間的 VaR-implied correlation：

除了上述這種計(jì)算方法，業(yè)界（Cotter and Longin 2006）還使用另一種更簡(jiǎn)化的方法：

這種方法直接使用資產(chǎn)和投資組合的 VaR 進(jìn)行計(jì)算，并不對(duì) r 的分布做正態(tài)假設(shè)。它和前一種方法的區(qū)別就是計(jì)算時(shí)是否使用 μ_i。由于 μ_i 的取值較 VaR 通常小一個(gè)數(shù)量級(jí)，因此兩種方法的計(jì)算結(jié)果非常接近。值得一提的是，當(dāng) VaR 被用來刻畫尾部風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，其常被人詬病的是它僅僅是一個(gè) α 分位數(shù)的取值，衡量的是在給定的概率下?lián)p失的最小值、不能準(zhǔn)確刻畫收益分布的左側(cè)肥尾。為了解決這個(gè)問題，人們提出了 Expected Shortfall（ES，也稱作 Expected Tail Loss）的概念，它是 α 分位數(shù)左側(cè)尾部風(fēng)險(xiǎn)的均值，相較于 VaR 能夠更好的刻畫尾部風(fēng)險(xiǎn)。

將上述 VaR-implied correlation 根據(jù) ES 的定義做一步擴(kuò)展得到 ES-implied correlation：

?

舉個(gè)例子。讓我們來看看滬深 300 指數(shù)和標(biāo)普 500 指數(shù)的相關(guān)性是否隨尾部風(fēng)險(xiǎn)遞增。假設(shè)使用周頻數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)的跨度從 2005 年 1 月到 2018 年 11 月。上述兩種資產(chǎn)在這段時(shí)期內(nèi)周頻收益率的相關(guān)系數(shù)為 0.16。假設(shè)按照 w_1 = w_2 = 0.5 的權(quán)重配置它們，得到投資組合，以此計(jì)算它們之間的 ES-implied correlation。下圖展示了這兩種資產(chǎn)和投資組合在不同 α 分位數(shù)下的 ES。毫無意外地，隨著 α 的減?。ù碇膊渴录絹碓綐O端），ES 的虧損幅度也逐漸增大。

下圖是這兩種資產(chǎn)的 ES-implied correlation。隨著尾部事件越來越極端，二者的尾部 correlation 也逐漸增大，且遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于整個(gè)回測(cè)期內(nèi)的 0.16。當(dāng) α = 1% 時(shí)，二者的相關(guān)系數(shù)高達(dá) 0.333；當(dāng) α = 0.5% 時(shí)，它們的相關(guān)系數(shù)進(jìn)一步增大到 0.445。當(dāng)金融危機(jī)出現(xiàn)的時(shí)候，誰都難以獨(dú)善其身。

3 尾部風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)

對(duì)于大部分常見的資產(chǎn)或者投資策略，它們的收益分布都有如下的形狀 —— 均值為正，但是左側(cè)存在著極端事件造成的巨大虧損，從而造成分布的負(fù)偏。這個(gè)分布通常稱為 Taleb Distribution，以 Nassim Nicholas Taleb 命名；他以黑天鵝一書聞名于世（左側(cè)的極端事件則代表了黑天鵝）。

不同資產(chǎn)的尾部相關(guān)性遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于它們平時(shí)的相關(guān)性說明這些資產(chǎn)的左側(cè)肥尾往往同時(shí)出現(xiàn)（比如 2008 年的金融危機(jī)），因此在市場(chǎng)出現(xiàn)危機(jī)時(shí)無法有效的分散風(fēng)險(xiǎn)。由于這個(gè)原因，人們?cè)谂渲貌煌馁Y產(chǎn)或者投資策略時(shí)提出了尾部風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)（tail risk parity）的概念。它是風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)的一個(gè)延伸（見《你真的搞懂了風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)嗎？》 —— 我發(fā)現(xiàn)這篇文章是 2017 年 12 月 21 日寫的，也是年底）。尾部風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)的目標(biāo)是讓不同資產(chǎn)或策略對(duì)投資組合的尾部風(fēng)險(xiǎn)貢獻(xiàn)相同。它更多的是一種理念，而具體實(shí)現(xiàn)方法則因人而異。比如，如果直接把風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)的概念應(yīng)用到尾部風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)中，我們可以讓不同資產(chǎn)的權(quán)重 w_i 滿足（使用 ES 度量尾部風(fēng)險(xiǎn)）：

舉個(gè)例子。假設(shè)有三種資產(chǎn)，它們的收益風(fēng)險(xiǎn)特性如下：

按照風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)和尾部風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)，這三種資產(chǎn)在投資組合中的權(quán)重分別為：

根據(jù)這兩種方法配置的投資組合的風(fēng)險(xiǎn)收益特征為：

上述結(jié)果說明，尾部風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)以犧牲部分收益為代價(jià)換取了投資組合更低的尾部風(fēng)險(xiǎn)和波動(dòng)率。在這個(gè)例子中，兩種配置方法的夏普率相同，但從衡量尾部風(fēng)險(xiǎn)控制的指標(biāo) μ/ES 來看，尾部風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)無疑更有優(yōu)勢(shì)。再來看看另一種尾部風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)的實(shí)現(xiàn)方法。下面這個(gè)投資組合在 TLT（US long government bond ETF）和 SPY（S&P 500 Index ETF）之間配置。它使用資產(chǎn)的最大回撤作為評(píng)價(jià)尾部風(fēng)險(xiǎn)的指標(biāo)，要求二者對(duì)投資組合的最大回撤貢獻(xiàn)相似。最終，它以 70% 和 30% 的比例將資金分配于 TLT 和 SPY 之中。

當(dāng)不同資產(chǎn)（或策略）的尾部風(fēng)險(xiǎn)在時(shí)間上不重疊時(shí)（即發(fā)生在不同的時(shí)期），尾部風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)則可以發(fā)揮出最大的威力。這也體現(xiàn)了大類資產(chǎn)配置的重要性。

4 Convergent vs Divergent Risk Taking

本小節(jié)來介紹兩個(gè)平時(shí)人們可能聽的比較少的概念 —— convergent and divergent risk taking。

在那之前，先讓我們說說圣杯分布。上一小節(jié)介紹了 Taleb 分布。如果有一種資產(chǎn)或者投資策略，它的收益分布滿足期望為正、但肥尾在右側(cè) —— 即“風(fēng)險(xiǎn)有限、收益無限”，我們則稱它的分布滿足圣杯分布（Holy Grail distribution）。

每個(gè)人都希望找到這樣的收益分布，它能夠和常見的 Taleb 分布很好的對(duì)沖、分散風(fēng)險(xiǎn)。在極端事件給傳統(tǒng)資產(chǎn)帶來巨額虧損時(shí)，這類策略往往有很好的收益。什么樣的策略具備這種分布呢？這需要從策略暴露的風(fēng)險(xiǎn)說起，從而引出我們的主角 —— convergent and divergent risk taking。這兩個(gè)術(shù)語經(jīng)常出現(xiàn)在管理期貨中。任何投資策略想要賺錢，都需要承擔(dān)一定的風(fēng)險(xiǎn)。而策略承擔(dān)什么樣的風(fēng)險(xiǎn)就決定了它的收益分布具備何種的特征。風(fēng)險(xiǎn)可以被分為 convergent risks 和 divergent risks 兩大類，因此策略也可以被視為 convergent risk taking 和 divergent risk taking 兩大類。

當(dāng)我們構(gòu)建 convergent risk taking 策略的時(shí)候，我們會(huì)根據(jù)金融學(xué)或者經(jīng)濟(jì)學(xué)對(duì)市場(chǎng)或者投資品的走勢(shì)有一個(gè)先驗(yàn)信仰，并以此為判斷做出投資決策。以 long only 的股票投資為例，我們相信股市是經(jīng)濟(jì)的晴雨表，而長(zhǎng)期來看經(jīng)濟(jì)會(huì)增長(zhǎng)、股票則會(huì)給我們帶來 risk premium，因此愿意承擔(dān)其短期波動(dòng)（可能很大）帶來的風(fēng)險(xiǎn)。這樣的策略就是 convergent risk taking 策略。另一方面，在構(gòu)建 divergent risk taking 策略時(shí)，人們假設(shè)投資品未來的走勢(shì)是未知的、不使用任何先驗(yàn)信仰來輔助判斷投資品會(huì)漲還是會(huì)跌。如果過去投資品一直漲，但是最近開始跌了，那么這種類型的策略不會(huì)以該投資品過去的走勢(shì)為先驗(yàn)從而認(rèn)為它還會(huì)繼續(xù)漲，而是會(huì)順應(yīng)當(dāng)下的趨勢(shì)而認(rèn)為它還會(huì)繼續(xù)跌。

在上面提到的兩種不同風(fēng)險(xiǎn)類型的策略中，股市中的價(jià)值投資無疑是 convergent risk taking 的代表。這類策略通過深度行業(yè)研究挖掘上市公司的內(nèi)在價(jià)值，當(dāng)價(jià)格低于價(jià)值時(shí)則買入且越低（跌）越買，耐心的等待其價(jià)格向價(jià)值回歸、無視短期的波動(dòng)，這是這類策略愿意且主動(dòng)承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)。常見于 CTA 中的趨勢(shì)追蹤策略或者股市中的動(dòng)量策略無疑是 divergent risk taking 的代表。這類策略對(duì)投資品的內(nèi)在價(jià)值不做任何假設(shè)，僅僅是嚴(yán)格依據(jù)價(jià)格的走勢(shì)進(jìn)行交易：價(jià)格上漲了做多、價(jià)格下跌時(shí)做空；當(dāng)盈利時(shí)會(huì)逐漸加倉(cāng)，當(dāng)虧損時(shí)會(huì)及時(shí)清倉(cāng)。Divergent risk taking 策略的收益特征滿足了圣杯分布的特性。這就是為什么趨勢(shì)追蹤策略能夠長(zhǎng)盛不衰的原因。在趨勢(shì)追蹤領(lǐng)域不乏 Winton Group 和 Aspect Capital 這樣的杰出代表。

5 結(jié)語

2013 年，Asness、Moskowitz 以及 Pedersen 在 Journal of Finance 上發(fā)表了一篇影響深遠(yuǎn)的文章，題為 Value and Momentum Everywhere（Asness et al. 2013）。通過上文的描述，不難看出 Value 和 Momentum 恰恰代表了兩大類 risk taking 策略，從風(fēng)險(xiǎn)的角度，它們完美的互補(bǔ)。有必要指出的是，圣杯分布是非常美好的，而獲得美好的東西注定是十分困難的。趨勢(shì)策略本身是非常反人性的（見《海龜交易法則：逆人性投資》）。趨勢(shì)策略最困難的地方在于在趨勢(shì)中拿的住單子，讓利潤(rùn)奔跑（只有這樣才能實(shí)現(xiàn)收益率分布的右尾）。由于認(rèn)知偏差中造成的對(duì)于確定性低收益的過度偏愛，人們總是傾向于早早平掉盈利的單子。市場(chǎng)中有句老話說的是趨勢(shì)策略最賺錢的時(shí)候一定是交易者最難受的時(shí)候。只有克服人性的種種錯(cuò)誤，才能真正享受到趨勢(shì)策略帶來的圣杯分布。

本文從尾部相關(guān)性出發(fā)介紹了如何基于 VaR 或者 ES 計(jì)算在極端事件發(fā)生時(shí)資產(chǎn)之間的相關(guān)性。大量的實(shí)證表明，同類甚至是跨大類的資產(chǎn)在市場(chǎng)發(fā)生危機(jī)的時(shí)候相關(guān)性都會(huì)迅速躥升，導(dǎo)致投資組合的巨大虧損。為了減輕這個(gè)問題，尾部風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)的資產(chǎn)配置方法越來越被投資者認(rèn)可。該方法以犧牲一定的收益換來危機(jī)時(shí)更低的虧損，從而提升投資組合的風(fēng)險(xiǎn)收益特征。本文的最后指出，從風(fēng)險(xiǎn)的角度來說，一個(gè)好的投資組合中應(yīng)該同時(shí)擁有 convergent 和 divergent risk taking 的策略。這兩個(gè)概念其實(shí)并不是什么“玄幻”的東西，它們?cè)谏钪幸埠艹Ｒ?。比如在社?huì)交往方面，有的人更喜歡只和少數(shù)幾個(gè)交心的朋友互動(dòng)、非常珍視小范圍的朋友圈，這屬于 convergent 行為；而另一些人則更加 social，喜歡和各種各樣的人打交道、交朋友、堅(jiān)信人生的下一個(gè) big opportunity 就來自某個(gè)新朋友，這就屬于 divergent 行為。這兩種行為并無對(duì)錯(cuò)、也各有優(yōu)缺點(diǎn)；將它們結(jié)合起來往往會(huì)實(shí)現(xiàn)雙贏。希望本文的介紹能帶給你一些啟發(fā)，更加科學(xué)的分配投資組合暴露的風(fēng)險(xiǎn)。

參考文獻(xiàn)

Asness, C. S., T. J. Moskowitz, and L. H. Pedersen (2013). Value and Momentum Everywhere.?Journal of Finance 68(3), 929 – 985.

Campbell, R., K. Koedijk, and P. Kofman (2002). Increased correlation in bear markets. Financial Analysts Journal 58(1), 87 – 94.

Cotter, J. and F. Longin (2006). Implied correlation from VaR. MPRA paper No. 3506, University College Dublin.

Liu, J. (2016). A new tail-based correlation. Working paper, McGill University.

免責(zé)聲明：入市有風(fēng)險(xiǎn)，投資需謹(jǐn)慎。在任何情況下，本文的內(nèi)容、信息及數(shù)據(jù)或所表述的意見并不構(gòu)成對(duì)任何人的投資建議。在任何情況下，本文作者及所屬機(jī)構(gòu)不對(duì)任何人因使用本文的任何內(nèi)容所引致的任何損失負(fù)任何責(zé)任。除特別說明外，文中圖表均直接或間接來自于相應(yīng)論文，僅為介紹之用，版權(quán)歸原作者和期刊所有。