作者：石川

摘要：Han et al. (2016) 通過(guò)截面回歸將美股上的短期反轉(zhuǎn)、中期動(dòng)量和長(zhǎng)期反轉(zhuǎn)合并成一個(gè)新的趨勢(shì)因子。該因子能獲得顯著的超額收益，為美股的 asset pricing 提供了新的思路。

1 引言

熟悉美股 asset pricing 或 factor investing 的小伙伴都知道，美股在不同的時(shí)間尺度上表現(xiàn)出了動(dòng)量或者反轉(zhuǎn)效應(yīng)。比如，在研究動(dòng)量因子時(shí)，常見(jiàn)的做法是按照月頻使用 t – 12 到 t – 1 之間的收益率作為動(dòng)量因子，這說(shuō)明在一年這個(gè)時(shí)間尺度上存在動(dòng)量，而之所以刨去最近一個(gè)月是因?yàn)槲磥?lái)收益率往往和最近一個(gè)月呈現(xiàn)反轉(zhuǎn)。此外，DeBondt and Thaler (1985) 指出美股在 3 ~ 5 年的時(shí)間尺度上存在反轉(zhuǎn)。

鑒于上述現(xiàn)象，一個(gè)自然的想法是針對(duì)不同的周期構(gòu)建三個(gè)因子 —— 短周期的反轉(zhuǎn)因子、中周期的動(dòng)量因子、以及超長(zhǎng)周期的反轉(zhuǎn)因子，然后把投資組合適當(dāng)?shù)谋┞对谶@些不同的因子中。如果這三個(gè)級(jí)別的不同現(xiàn)象都能帶來(lái) risk premium，則長(zhǎng)期來(lái)看暴露在它們之上會(huì)有好的投資回報(bào)。

然而，除此之外，是否有更好的辦法把不同級(jí)別的動(dòng)量或者反轉(zhuǎn)因子綜合到一起，構(gòu)建一個(gè)跨越不同時(shí)間尺度的趨勢(shì)因子呢？2016 年，一篇發(fā)表于頂刊 Journal of Financial Economics 的文章（Han et al. 2016）給出了肯定的答案。這篇文章中采用的通過(guò)截面回歸來(lái)構(gòu)建趨勢(shì)因子的思路，以及為了檢驗(yàn)該因子而使用的很多統(tǒng)計(jì)手段都值得借鑒。

2 趨勢(shì)因子

為了構(gòu)建趨勢(shì)因子，首先要選擇具體的方法來(lái)計(jì)算不同時(shí)間尺度下的動(dòng)量、反轉(zhuǎn)。為此，Han et al. (2016) 采用的是 Moving Average（MA，移動(dòng)平均）。移動(dòng)平均是一個(gè)被技術(shù)分析廣泛采用的簡(jiǎn)單指標(biāo)，許多實(shí)盤(pán)交易結(jié)果指出 MA 對(duì)于未來(lái)的收益率有一定的預(yù)測(cè)性。在理論方面，Han et al. (2016) 受到 Wang (1993) 的啟發(fā)，使用一個(gè)簡(jiǎn)單的隨機(jī)過(guò)程模型對(duì)于 MA 在收益率上面的預(yù)測(cè)性進(jìn)行了分析。此外，Zhu and Zhou (2009) 從資產(chǎn)配置的角度研究了移動(dòng)平均的價(jià)值。理論分析和實(shí)證數(shù)據(jù)均顯示移動(dòng)平均在交易中的作用。

在 Han et al. (2016) 研究的實(shí)證中，計(jì)算趨勢(shì)因子的頻率是月頻，回測(cè)期為 1926 年 1 月至 2014 年 12 月（數(shù)據(jù)來(lái)自 CRSP 并采用了學(xué)術(shù)界常見(jiàn)的數(shù)據(jù)處理方法）。為了計(jì)算趨勢(shì)因子，首先在每個(gè)月 t 的最后一個(gè)交易日計(jì)算每支股票（用 j 表示）在不同時(shí)間尺度 L 的移動(dòng)平均：

其中 P_{j, t-L+i} 為股票 j 在第 t-L+i 個(gè)月最后一個(gè)交易日的價(jià)格（上述表達(dá)式和 Han et al. 2016 中的有些差異；我在不影響理解的前提下簡(jiǎn)化了表達(dá)式）。考慮到不同股票價(jià)格的量級(jí)存在巨大的差別，計(jì)算的下一步是使用最新的價(jià)格 P_{j, t} 對(duì)上述移動(dòng)平均進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化：

在有了不同時(shí)間尺度（lag L）的移動(dòng)平均之后，Han et al. (2016) 將它們視作不同級(jí)別的趨勢(shì)（可能是動(dòng)量、也可能是反轉(zhuǎn)）信號(hào)，在每期使用股票最新的 MA 指標(biāo)和下一期的收益率進(jìn)行截面回歸，得到這些移動(dòng)均線因子的收益率：

其中，r_{j,t} 為個(gè)股 j 在 t 期的收益率，L_i 為第 i 個(gè)計(jì)算移動(dòng)平均的時(shí)間尺度。通過(guò)截面回歸就可以得到這些移動(dòng)平均因子的收益率 β_{i,t}。再具體計(jì)算時(shí)，計(jì)算均線的時(shí)間尺度 L_i 的取值為 3、5、10、20、50、100、200、400、600、800 以及 1000 個(gè)交易日，它們分別對(duì)應(yīng)的時(shí)間尺度為日頻、周頻、月頻、季度、一年、兩年、三年以及四年。一旦在不同 t 上使用截面回歸得到了 β_{i,t}，就可以在時(shí)序上取均值來(lái)預(yù)測(cè)下一個(gè)選股窗口內(nèi)（月頻）各均線因子的預(yù)期收益率。為此，作者采用了使用過(guò)去 12 個(gè)月的 β_{i,t} 來(lái)計(jì)算下個(gè)月的預(yù)期收益率：

最終，使用對(duì) t + 1 的均線預(yù)期收益率 E_t[β_{i,t+1}] 和個(gè)股 j 在 t 期的最新均線指標(biāo)取值就可以計(jì)算出每支股票在 t + 1 的收益率預(yù)測(cè)，并以此對(duì)股票排序構(gòu)建趨勢(shì)因子（在該計(jì)算中并不需要用到截面回歸的截距項(xiàng)，因?yàn)樵擁?xiàng)對(duì)所有個(gè)股都一樣，不改變因子的單調(diào)性）：

簡(jiǎn)單梳理一下。上述計(jì)算趨勢(shì)因子的過(guò)程首先找出了每支股票在不同時(shí)間尺度下的移動(dòng)平均；將這些移動(dòng)平均視為因子并通過(guò)截面回歸得到每期因子收益率；通過(guò)滾動(dòng)窗口計(jì)算出每個(gè)移動(dòng)平均因子在這段時(shí)間內(nèi)的收益率均值，從而動(dòng)態(tài)的捕捉了在不同的歷史時(shí)期，哪種級(jí)別的移動(dòng)均線對(duì)于預(yù)測(cè)下一期的股票收益率最有效（β 的符號(hào)決定了方向 —— 動(dòng)量或者反轉(zhuǎn)，β 的大小決定了預(yù)測(cè)的強(qiáng)弱）；最終使用移動(dòng)均線因子收益率和最新的因子取值計(jì)算出個(gè)股下一期收益率的預(yù)測(cè)，以此對(duì)個(gè)股排序。具體的，在每個(gè)月末將股票按照預(yù)期收益率從大到小排序，將排名前 1/5 的股票等權(quán)構(gòu)建多頭組合，將排名后 1/5 的股票等權(quán)構(gòu)建空頭組合。多空組合的收益率之差就是該趨勢(shì)因子。和我們熟悉的 HML、SMB 一樣，趨勢(shì)因子本身也是一個(gè)多空投資組合的收益率。下圖展示了回測(cè)期內(nèi)趨勢(shì)因子（Trend）和短期反轉(zhuǎn)（SREV）、中期動(dòng)量（MOM）以及長(zhǎng)期反轉(zhuǎn)（LREV）以及 Fama-French 三因子（Fama and French 1993）的收益。從均值（以及對(duì)應(yīng)的 t-statistic）來(lái)看，趨勢(shì)因子無(wú)疑優(yōu)勢(shì)明顯。

接下來(lái)就來(lái)比較一下這個(gè)新的趨勢(shì)因子和傳統(tǒng)的動(dòng)量、反轉(zhuǎn)因子。

3 趨勢(shì)因子 vs 傳統(tǒng)動(dòng)量、反轉(zhuǎn)因子

盡管動(dòng)量因子在美股上占有舉足輕重的地位，但它經(jīng)常被人詬病的是該因子在市場(chǎng)從熊市反彈時(shí)的不良表現(xiàn)。在這些時(shí)期，動(dòng)量因子的空頭一方總會(huì)出現(xiàn)報(bào)復(fù)性反彈，收益率遠(yuǎn)超其多頭一方，造成動(dòng)量因子巨大的損失。這個(gè)現(xiàn)象被稱(chēng)為 momentum crashes（Daniel and Moskowitz 2016）。Han et al. (2016) 的經(jīng)驗(yàn)結(jié)果顯示，新的趨勢(shì)因子在 momentum crashes 時(shí)期往往能取得非常優(yōu)異的收益：

分析其原因，是因?yàn)樾碌内厔?shì)因子和傳統(tǒng)的動(dòng)量因子的相關(guān)性很低。由于該方法通過(guò)滾動(dòng)回歸動(dòng)態(tài)的暴露在不同級(jí)別的移動(dòng)均線指標(biāo)上，因此可以想見(jiàn)在回測(cè)期內(nèi)，它更多暴露在長(zhǎng)、短期反轉(zhuǎn)因子上，而非中期動(dòng)量因子上。下圖（Panel B）展示了趨勢(shì)因子和傳統(tǒng)因子的相關(guān)性，說(shuō)明了這一點(diǎn)。

然而，在上面的結(jié)果中，最令我驚訝的是趨勢(shì)因子非常小的最大回撤（max drawdown，MDD）—— 其最大回撤只有 20%（too good to be true），遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于其他三個(gè)動(dòng)量、反轉(zhuǎn)因子。這說(shuō)明在市場(chǎng)下行的時(shí)候，趨勢(shì)因子中空頭一方非常給力。當(dāng)然，在實(shí)際投資中，考慮到交易的成本和各種做空的限制，上述結(jié)果會(huì)打一定的折扣。Han et al. (2016) 也客觀的指出，為了科學(xué)評(píng)價(jià)該趨勢(shì)因子在實(shí)際投資中的價(jià)值仍需要更多的研究工作。為了定量比較新的趨勢(shì)因子和傳統(tǒng)的動(dòng)量、反轉(zhuǎn)因子，Han et al. (2016) 采用了學(xué)術(shù)界常用的 mean-variance spanning tests（Huberman and Kandel 1987）。直觀的說(shuō)，該方法考察 K 個(gè)已知資產(chǎn)構(gòu)建的 mean-variance 有效前沿能否包含某個(gè)新資產(chǎn)（或者投資組合）。在數(shù)學(xué)上，考慮新的趨勢(shì)因子和 SREV、MOM 以及 LREV 三因子的回歸模型如下：

該檢驗(yàn)的 null hypothesis 是：

Kan and Zhou (2012) 指出 mean-variance spanning tests 有六個(gè)不同的版本。下表考慮了全部六個(gè)版本，并考慮了不同的回測(cè)期 —— 全部回測(cè)期、衰退期以及金融危機(jī)。所有版本均顯著的拒絕原假設(shè)，說(shuō)明新的趨勢(shì)因子存在傳統(tǒng)動(dòng)量、反轉(zhuǎn)因子無(wú)法解釋的股票截面預(yù)期收益差異。這意味著，僅僅通過(guò)將投資組合暴露于傳統(tǒng)的 SREV、MOM 以及 LREV 三因子無(wú)法取得該趨勢(shì)因子帶來(lái)的超額收益。

最后來(lái)看看趨勢(shì)因子能否被 CAPM 模型以及 Fama-French 三因子模型解釋 —— 即考察它是否有 CAPM-α 和三因子-α。除了考察趨勢(shì)因子自身之外，Han et al. (2016) 還考慮了根據(jù)預(yù)期收益率高低將股票分成五檔構(gòu)建的投資組合，結(jié)果如下表所示。

從結(jié)果來(lái)看，對(duì)于趨勢(shì)因子，它存在無(wú)法被傳統(tǒng) CAPM 或 Fama-French 三因子解釋的超額收益。從因子暴露來(lái)看，當(dāng)使用三因子模型時(shí)，它在 SMB 和 HML 上的暴露在統(tǒng)計(jì)上非常不顯著。面對(duì)如此超額收益，Han et al. (2016) 卻指出，他們并不認(rèn)為該趨勢(shì)因子一定是一個(gè)異象（anomaly）。作者認(rèn)為趨勢(shì)背后也許存在對(duì)應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)，而趨勢(shì)獲得的超額收益和風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償有關(guān)。有效市場(chǎng)假說(shuō)（EMH）之父 Eugene Fama 指出，market efficiency 已經(jīng)成為一個(gè) joint hypothesis 問(wèn)題 —— 即為了檢驗(yàn)市場(chǎng)有效性，首先要有一個(gè)合理的 asset pricing 模型；如果模型未知或者錯(cuò)誤，就不能正確的評(píng)判任何異象是否真的是異象。這意味著，檢驗(yàn) EMH 的同時(shí)必須也要檢驗(yàn) asset pricing 模型。依照這個(gè)思路，如果趨勢(shì)因子（或者更傳統(tǒng)意義上的動(dòng)量）是真實(shí)（但未知）asset pricing 模型的一部分，那么它獲取的超額收益就是某種風(fēng)險(xiǎn)的補(bǔ)償，而非市場(chǎng)異象。

4 趨勢(shì)因子是否來(lái)自數(shù)據(jù)挖掘

正如引言中所說(shuō)的，我最初對(duì)趨勢(shì)因子持懷疑態(tài)度，認(rèn)為它不可避免的存在數(shù)據(jù)挖掘的問(wèn)題。與傳統(tǒng)的動(dòng)量或反轉(zhuǎn)因子相比，該因子無(wú)論從模型復(fù)雜度或者參數(shù)復(fù)雜度都更高，因此數(shù)據(jù)挖掘的可能性也更大。針對(duì)這方面，Han et al. (2016) 從四個(gè)角度進(jìn)行了闡述。首先，三位作者指出，構(gòu)建趨勢(shì)因子所使用的移動(dòng)平均窗口長(zhǎng)度并非優(yōu)化的結(jié)果，這些參數(shù)背后都有一定的業(yè)務(wù)邏輯。第二，如果把回測(cè)期按照每十年分成一個(gè)區(qū)間并觀測(cè)趨勢(shì)因子在這些區(qū)間內(nèi)的表現(xiàn)（下圖）會(huì)發(fā)現(xiàn)該因子獲得的收益非常穩(wěn)健。作者指出穩(wěn)健的表現(xiàn)說(shuō)明該因子不太可能是數(shù)據(jù)挖掘的產(chǎn)物。

第三，Harvey et al. (2016) 針對(duì)“因子挖掘”界普遍存在的 multiple testing 問(wèn)題，提出單一因子的 t-statistic 至少要超過(guò) 3 才有可能是一個(gè)真的異象。而趨勢(shì)因子的 t-statistic 高達(dá) 13.6（傳統(tǒng)動(dòng)量因子的 t-statistic 為 6.04），遠(yuǎn)超這一閾值。不過(guò) Harvey et al. (2016) 自己也指出即便是這個(gè)閾值也非常保守。為此，Harvey and Liu (2018) 針對(duì) multiple testing 的問(wèn)題，提出了一個(gè)基于回歸的分析因子有效性的框架（見(jiàn)《出色不如走運(yùn)(II)?》），在該框架下，傳統(tǒng)的動(dòng)量因子已經(jīng)不再有效。因此，使用該框架來(lái)進(jìn)一步檢驗(yàn)趨勢(shì)因子是否有效可以作為一個(gè)未來(lái)的研究課題。

最后的第四個(gè)角度是 out of sample test，它無(wú)疑比前三個(gè)角度更具說(shuō)服力。Han et al. (2016) 在其他 G7 國(guó)家（法國(guó)、英國(guó)、德國(guó)、意大利、加拿大、日本）的股市中檢驗(yàn)了趨勢(shì)因子的有效性。在所有這些國(guó)家中均觀察到了來(lái)自趨勢(shì)因子的超額收益；除德國(guó)外，在其他國(guó)家中的月頻 CAPM-α 均高于 1%。雖然趨勢(shì)因子在這些國(guó)家中的表現(xiàn)沒(méi)有在美股上明顯，但無(wú)疑作為樣本外的數(shù)據(jù)集，這樣的結(jié)果支持了“趨勢(shì)因子并非數(shù)據(jù)挖掘的產(chǎn)物”這一觀點(diǎn)。

5 Fama-MacBeth Regression

除了上述四個(gè)角度的論述外，Han et al. (2016) 還進(jìn)行了很多 robustness check 并通過(guò)考慮交易成本來(lái)檢查趨勢(shì)因子的有效性。本小節(jié)挑選這其中的 Fama-MacBeth regression（Fama and MacBeth 1973）進(jìn)行介紹。Fama-MacBeth regression 的優(yōu)勢(shì)在于可以控制很多變量，從而考察目標(biāo)變量在解釋股票預(yù)期收益率截面差異的顯著性。在 Fama-MacBeth regression 中，回歸方程左側(cè)的是個(gè)股的收益率，在右側(cè)的解釋變量中，除了常見(jiàn)的因子（如 log(size)、log(B/M)、E/P）外，還加入了 ER_{trd}^{12}、ER_{trd}^{6} 及 ER_{trd}^{60} 等使用不同尺度 MA 計(jì)算出來(lái)的預(yù)期收益率。

結(jié)果（上圖）顯示，當(dāng)考慮了常見(jiàn)的因子后，被加入回歸的 ER_{trd}^{12}、ER_{trd}^{6} 或 ER_{trd}^{60} 依然對(duì)個(gè)股的截面預(yù)期收益率差異有非常顯著的解釋作用。

6 趨勢(shì)因子和信息不確定性

長(zhǎng)久以來(lái)，技術(shù)分析和基本面分析是股票投資中的兩大派系，而移動(dòng)平均是技術(shù)分析中的優(yōu)秀手段。因此，本文介紹的基于移動(dòng)平均的趨勢(shì)因子也源自技術(shù)分析，是使用技術(shù)分析進(jìn)行 asset pricing 的一種努力。當(dāng)股票的（基本面）信息存在較高的不確定性時(shí)，投資者和交易者往往更傾向使用技術(shù)分析手段來(lái)選股。由此，Han et al. (2016) 提出了一個(gè)假設(shè)：在信息不確定性高的股票中（比在信息不確定性低的股票中）使用趨勢(shì)因子可獲得更高的收益。

為了驗(yàn)證這一點(diǎn)，該文選擇了市值、特異性波動(dòng)率、換手率、分析師覆蓋、公司年齡作為信息不確定的代理指標(biāo)。具體來(lái)說(shuō)，高的信息不確定性意味著公司市值小、特異性波動(dòng)率大、換手率低、分析師覆蓋少、以及公司年齡短。Han et al. (2016) 將股票逐一使用這些代理指標(biāo)以及趨勢(shì)因子進(jìn)行 double sorting，然后考察趨勢(shì)因子的效果，結(jié)果如下圖所示（省略了 market size 這個(gè)指標(biāo)）。以 IVol（特異性波動(dòng)率）為例，對(duì)于 IVol 低的股票（信息不確定性低），趨勢(shì)因子的月頻收益率均值為 0.87% ，而對(duì)于 IVol 高的股票（信息不確定性高），趨勢(shì)因子的月頻收益率高達(dá) 2.25%。對(duì)于其他的信息不確定性代理指標(biāo)，也都可以觀察到類(lèi)似的結(jié)果，從而證實(shí)了“趨勢(shì)因子在信息不確定性高的股票中能獲得更高的收益”這一猜想。

7 結(jié)語(yǔ)

Han et al. (2016) 通過(guò)截面回歸將美股上的短期反轉(zhuǎn)、中期動(dòng)量和長(zhǎng)期反轉(zhuǎn)合并成一個(gè)新的趨勢(shì)因子。該因子能獲得顯著的超額收益，為美股的 asset pricing 提供了新的思路。除了本文介紹的內(nèi)容外，Han et al. (2016) 還包括更多的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，給出了關(guān)于這個(gè)新的趨勢(shì)因子的大量實(shí)證結(jié)果。如果讓我來(lái)總結(jié)一下，這篇文中最重要的一點(diǎn)在于使用傳統(tǒng) SREV、MOM 以及 LREV 三個(gè)因子進(jìn)行的 mean-variance spanning 無(wú)法解釋新的趨勢(shì)因子。這意味著，圍繞上述三因子暴露構(gòu)建的投資組合無(wú)法獲得基于這個(gè)單一趨勢(shì)因子所能獲得的超額收益。

為什么會(huì)出現(xiàn)這種現(xiàn)象了？下圖 —— MA(20) 和 MA(100) 的回歸系數(shù)隨時(shí)間的變化 —— 給出了答案。這些回歸系數(shù)隨時(shí)間的變化意味著在構(gòu)建趨勢(shì)因子時(shí)，通過(guò)使用截面回歸，該趨勢(shì)因子動(dòng)態(tài)的捕捉了不同時(shí)間尺度上的動(dòng)量、反轉(zhuǎn)信號(hào)在預(yù)測(cè)股票收益率時(shí)的作用。

雖然無(wú)法完全排除數(shù)據(jù)挖掘的可能性，但不可否認(rèn)該因子在不同歷史時(shí)期捕捉到了不同級(jí)別的動(dòng)量、反轉(zhuǎn)信號(hào)。Han et al. (2016) 這篇文章的實(shí)證結(jié)果到 2014 年 12 月，在未來(lái)可以采用 2015 年開(kāi)始的樣本外數(shù)據(jù)對(duì)其檢驗(yàn)，考察其是否依然有效。趨勢(shì)追蹤策略面臨的最大難題通常是在哪種時(shí)間尺度上計(jì)算趨勢(shì)。趨勢(shì)往往很難穩(wěn)健的存在于固定的頻率。這個(gè)趨勢(shì)因子從一定程度上解決了這個(gè)問(wèn)題。然而，它背后一個(gè)較強(qiáng)的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)依據(jù)是美股在歷史長(zhǎng)河中確實(shí)存在顯著的短期反轉(zhuǎn)、中期動(dòng)量和長(zhǎng)期反轉(zhuǎn)。如果在未來(lái)，用于計(jì)算該因子的一個(gè)或者多個(gè)級(jí)別的移動(dòng)均線不再有預(yù)測(cè)收益率的能力，那么該趨勢(shì)因子將會(huì)面臨新的挑戰(zhàn)。

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