作者：石川

摘要：再平衡是投資組合產(chǎn)生多樣化收益率的原因，而分散化帶來的投資組合的波動率降低則是再平衡的結(jié)果。

1 算術(shù)平均 vs 幾何平均

收益率無疑是評價一個投資品或投資策略好壞的重要指標之一。當(dāng)人們談及收益率時，兩個概念往往相伴出現(xiàn)，它們是收益率的算術(shù)平均（arithmetic average）和幾何平均（geometric average）。假設(shè)某投資品在十年內(nèi)每年的收益率為 r_i（i = 1, 2, …, 10），則它的算術(shù)平均收益率 s 和幾何平均收益率 g 分別為：

算術(shù)平均值不能正確的反應(yīng)一個投資品的收益率。比如一個投資品今年漲了 50%，明年跌了 50%，它的算數(shù)平均收益率為 0；但事實上，兩年后該投資品虧損了最初資金的 25%。相反的，幾何平均收益率能準確的反應(yīng)該投資品的真實收益率。

通常的，收益率的算數(shù)平均值 s 和幾何平均值 g 近似的滿足如下這個關(guān)系，其中，σ 為單期收益率的標準差。因此，幾何平均收益率可以理解為算數(shù)平均收益率考慮了“波動懲罰”后的結(jié)果。

2 “清水變成酒”

Eye of rabbit, harp string hum, turn this water into rum.

這是《哈利波特與魔法石》中，西莫（哈利的同學(xué)）試圖將水變成酒時使用的變形咒。在魔法世界中，清水變成酒固然需要使用魔法，但在現(xiàn)實世界中呢，也讓我們來看一個“清水變成酒”的例子。假設(shè)有 40 個相互獨立的投資品，每個投資品的投資年限都是 45 年，這些投資品在這 45 年內(nèi)的幾何平均收益率均為 0，單期收益率的波動率為 30%。假設(shè)我們有 100 萬，并在第 1 年初將這些資金平均的分配到這 40 個投資品中，此后不再調(diào)倉，任由每個投資品各自漲跌。如此的話，在 45 年后我們?nèi)匀挥?100 萬，不多不少。這是因為每個投資品在這 45 年間的實際收益率都是 0。

下面，讓我們換一種方法：在每年末，我們對投資組合進行再平衡（rebalance），即把當(dāng)期的所有資金重新平均分配到這 40 個投資品中間（下圖為一個由股票和債券構(gòu)成的投資組合再平衡的示意圖）。

我們稱它為“再平衡”策略。該策略在 45 年后的收益是多少呢？經(jīng)過 10000 次仿真實驗（每次產(chǎn)生具有上述收益特性的 40 個投資品，并根據(jù)再平衡策略構(gòu)建投資組合 45 年，并在末期計算投資組合的幾何平均收益率），該投資組合的幾何收益率高達 4.7%。僅僅是通過再平衡，這 40 個幾何收益率為 0 的投資品構(gòu)建的投資組合就取得了每年 4.7% 的收益率。也許有人會說，投資 40 個獨立的投資品，分散了風(fēng)險、降低了波動，所以組合有更高的收益率。但是不要忘了，不進行再平衡的投資組合也分散化了卻沒有得到任何收益。而再平衡策略的投資組合取得了非零的收益率。顯然，再平衡是讓“清水變成酒”的關(guān)鍵所在。

3 定期再平衡和多樣化收益

想要理解“清水變成水”的原因，就必須搞清楚投資組合的幾何平均收益率 g_p 和構(gòu)成它的成分投資品的幾何平均收益率 g_i 的關(guān)系。不過，為了闡述 g_p 和 g_i 們的關(guān)系，讓我們從算數(shù)平均說起。假設(shè)某年，投資組合的收益率為 r_p，構(gòu)成它的成分投資品在當(dāng)年的收益率為 r_i，投資品的權(quán)重為 w_i，則有：

上面這個式子對每個單期（比如我們說的每一年）都成立。然而，如果我們在時間上對兩邊取平均，即分別計算投資組合的算術(shù)平均收益率和成分投資品的算術(shù)平均收益率加權(quán)，那么上式往往不再成立。這里的例外是，如果每期該投資組合都進行了再平衡，即任意投資品 i 的權(quán)重 w_i 在（離散的）時間上是恒定的，那么上式在時間上取平均是成立的，有：

其中 s_p 和 s_i 分別為投資組合和投資品 i 在整個投資期間的算術(shù)平均收益率。將第一節(jié)介紹的 g 和 s 的關(guān)系帶入上式并經(jīng)過簡單的推導(dǎo)就可以得到如下的關(guān)系：

上式中，左側(cè)是一個差值，構(gòu)成它的兩項分別為定期再平衡的投資組合的幾何平均收益率 g_p 和成分投資品幾何平均收益率 g_i 的加權(quán)平均。如果我們在投資初期按 w_i 的權(quán)重配置投資品，且在整個投資期間不進行再平衡，則到了投資期末，該組合的（幾何）收益率約為 Σw_ig_i。因此 g_p 和 Σw_ig_i 之間的差值就是由再平衡創(chuàng)造出來的，它被稱為多樣化收益率（diversification return）。

從上式右側(cè)可知，多樣化收益率和投資品的波動率以及它們之間的相關(guān)系數(shù) ρ_ij 有關(guān)。上式右側(cè)的兩項分別為成分投資品方差的加權(quán)平均以及投資組合的方差。由于前者高于后者，因此多樣化收益率大于零。人們往往把產(chǎn)生多樣化收益率的原因錯誤的解讀為分散化降低了投資組合的方差。分散化確實降低了組合的方差，但它是定期再平衡的結(jié)果，定期再平衡才是產(chǎn)生多樣化收益率的原因。

還有一個有意思的現(xiàn)象是，即便成分投資品之間完全正相關(guān)，通過再平衡也能產(chǎn)生多樣化收益率。來看一個簡單的例子，假設(shè)一個投資組合等權(quán)配置兩個投資品。這兩個投資品在兩年內(nèi)的收益率分別為 25%、-10% 以及 50%、-20%（相關(guān)系數(shù)為 1）。如果不進行再平衡，則該組合的收益率為 7.81%；而再平衡后，它的收益率為 8.11%，它們之間的差值 0.3% 就來自再平衡。

再平衡把投資組合的資金重新平均分配在不同投資品之間。它實際上就干了一件事兒 —— buy losers and sell winners。在上一期漲的多的投資品，在再平衡之前其權(quán)重較目標權(quán)重上升；反之，在上一期跌的多的投資品，在再平衡之前其權(quán)重較目標權(quán)重減少。因此，再平衡時賣出一部分上一期漲的多的并補足買上一期入跌的多的。上漲的投資品，其相對估值上升；下跌的投資品，其相對估值下降。通過再平衡，多樣化收益率植根于出售相對估值上升的資產(chǎn)并買入相對估值下降的資產(chǎn)。

再平衡的另外一個好處是它使得投資組合的風(fēng)險在時間上較為穩(wěn)定。比如下圖（來源：Morningstar）是由股票和債券構(gòu)成的投資組合在 30 年的投資期限中權(quán)重變化（左側(cè)為每年再平衡、右側(cè)為從不平衡）?？梢钥吹?，由于股票的收益率高于債券，隨著時間的推移，股票在投資組合中的權(quán)重會逐漸上升，因此投資組合的風(fēng)險會逐年增加。

4 一個例子

上面的例子都是假想的，最后我們來看一個實際的例子?？紤]滬深 300、標普 500、黃金和美國國債這四個投資品。投資期限為 2007 年初到 2016 年底的十年。使用它們構(gòu)建一個等權(quán)投資組合，且在每年年底進行再平衡。該策略的結(jié)果如下表所示。

通過再平衡，該策略的幾何平均收益率為 7.47%。對應(yīng)的不進行再平衡的策略的收益率僅為 4.49%（這四個投資品幾何平均收益率的加權(quán)平均為 4.43%，非常接近 4.49%）。因此再平衡帶來了每年 3.04% 的多樣化收益率。每年再平衡和不進行再平衡這兩個策略的凈值走勢如下。除第一年相同外，自第二年開始再平衡的策略開始有更好的表現(xiàn)。

下圖為這兩個策略凈值之間的差值，它基本是單調(diào)上升的，說明每年的再平衡持續(xù)的產(chǎn)生多樣化收益率。

5 結(jié)語

投資組合的再平衡是被人們熟悉和接受的一個概念。本文的介紹指出，再平衡是投資組合產(chǎn)生多樣化收益率的原因，而分散化帶來的投資組合的波動率降低則是再平衡的結(jié)果。從第三節(jié)的數(shù)學(xué)推導(dǎo)來看，再平衡 —— 無論在什么頻率上（年、月、周、甚至是日） —— 都能較不進行再平衡帶來多樣化收益率。

不過，多樣性收益率的大小和再平衡頻率之間的關(guān)系尚無定論。以本文實證中的四個投資品為例，在不同的回測期內(nèi)看，不同頻率的再平衡效果表現(xiàn)不一。當(dāng)然，在投資實務(wù)中，我們需要考慮再平衡帶來的交易成本等問題，結(jié)合自己的投資策略，選擇適當(dāng)?shù)脑倨胶庵芷凇?/span>

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