作者：石川

摘要：本文解析中國(guó) A 股的兩個(gè)波動(dòng)率日歷效應(yīng)，即周一的波動(dòng)率最高，以及按照日歷周計(jì)算的周收益率的波動(dòng)率最低。

1 引言

嚴(yán)格的說(shuō)，這篇文章的題目應(yīng)該叫“二階矩的日歷效應(yīng)”，因?yàn)樗ㄈ帐找媛首陨淼牟▌?dòng)率以及不同交易日之間收益率的協(xié)方差。但顯然，“波動(dòng)率”是個(gè)更接地氣的稱(chēng)呼。

言歸正傳，投資者對(duì)股市中的很多收益率的日歷效應(yīng)并不陌生，比如華爾街流行的“Sell in May”和“January Barometer”（感興趣的讀者請(qǐng)參看《Sell in May and Go Away》和《過(guò)度數(shù)據(jù)挖掘之“一月晴雨表”》），以及 A 股中流傳的“星期四法定砸盤(pán)日”等。

今天我想從波動(dòng)率的角度解讀兩個(gè)日歷效應(yīng)：

在具體分析前不妨先給出結(jié)論：

下面就以上證指數(shù)為例來(lái)解釋這兩個(gè)現(xiàn)象。

2 星期一波動(dòng)率最高

人們都有這樣的感受，即股價(jià)在周一的波動(dòng)往往較星期內(nèi)的其他幾天更大。以過(guò)去 15 年的上證指數(shù)為例，下圖為它在星期一到星期五這五天的對(duì)數(shù)收益率的箱體圖。使用對(duì)數(shù)收益率的原因是我們之后會(huì)使用 F 檢驗(yàn)來(lái)判斷這些收益率的波動(dòng)率是否相同，而 F 檢驗(yàn)對(duì)待檢驗(yàn)的隨機(jī)變量是否滿(mǎn)足正態(tài)分布非常敏感。由于對(duì)數(shù)收益率比收益率更符合正態(tài)分布，因此我們使用對(duì)數(shù)收益率進(jìn)行下面的計(jì)算。

從圖中直觀來(lái)看，星期一的對(duì)數(shù)收益率有更廣闊的分布，即更高的波動(dòng)率。這五個(gè)工作日的對(duì)數(shù)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差分別為：

除星期一外，其他幾日的標(biāo)準(zhǔn)差都在 0.015 左右，而星期一的標(biāo)準(zhǔn)差則接近 0.02。我們自然無(wú)法忽視這樣的區(qū)別，它顯然代表著星期一的波動(dòng)率和其他幾日在統(tǒng)計(jì)意義上顯著的不同。為證明這一點(diǎn)，對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差的平方即方差，兩兩進(jìn)行 F 檢驗(yàn)。原假設(shè)為被檢測(cè)兩日對(duì)數(shù)收益率的方差相同。在原假設(shè)下，上述標(biāo)準(zhǔn)差結(jié)果發(fā)生的概率為：

比如，上表中橫向星期一和縱向星期二對(duì)應(yīng)的數(shù)值 2.645292e-11 意味著在原假設(shè)下，星期一和星期二的對(duì)數(shù)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差出現(xiàn)如此之大差異的概率為 2.645292 的 -11 次方。如果以 1% 為置信水平（99% 的顯著性水平）為標(biāo)準(zhǔn)，那我們無(wú)疑可以輕松的拒絕星期一和其他任何一天方差相同的原假設(shè)。因此可以下結(jié)論說(shuō)，在一周之內(nèi)，周一的波動(dòng)率最高，且該結(jié)果在統(tǒng)計(jì)上非常顯著。

接下來(lái)就要回答：為什么呢？由于周六和周日兩天休市，周一較前一個(gè)交易日（通常為上周五）之間隔了兩個(gè)休息日。與此相對(duì)應(yīng)的是，周內(nèi)的其他日子中較前一個(gè)交易日僅有一個(gè)隔夜。顯然，兩個(gè)休息日比一個(gè)隔夜有更大的可能性產(chǎn)生新的消息（不管是正面消息還是負(fù)面消息、不管是公司的消息還是監(jiān)管的消息），這就造成了周一較其他交易日有更大的不確定性。這個(gè)高不確定性正是星期一高波動(dòng)率的來(lái)源。高不確定導(dǎo)致投資者以下四種行為：

這些投資者行為的綜合作用貢獻(xiàn)了周一的高波動(dòng)率。

3 周內(nèi)日收益率的負(fù)相關(guān)

接下來(lái)看看“周收益率”的情況。這里，我們不局限于傳統(tǒng)日歷周的概念；把周收益率定義為連續(xù)五個(gè)交易日的收益率。在這種定義下產(chǎn)生了以下五種周收益率的計(jì)算方式：

顯然，除了第一種傳統(tǒng)的日歷周定義，在其他的四種定義下，它們包含的五個(gè)交易日都是跨周的。那么，不同的定義對(duì)周收益率的波動(dòng)率有什么影響呢？回答這個(gè)問(wèn)題對(duì)于周頻交易的量化策略非常有用。我們?nèi)匀豢紤]對(duì)數(shù)收益率，因此周對(duì)數(shù)收益率等于這五個(gè)交易日對(duì)數(shù)收益率之和，即：

周對(duì)數(shù)收益率的波動(dòng)率，即方差，可以寫(xiě)成日對(duì)數(shù)收益率方差和協(xié)方差的和：

不論是否跨周，在這五種定義中，周一到周五均出現(xiàn)（且僅出現(xiàn)）了一次。因此，上式中的前五項(xiàng)對(duì)于這五種計(jì)算方式來(lái)說(shuō)是相同的。所以，如果周對(duì)數(shù)收益率的波動(dòng)率在這五種定義下不同，那一定是日對(duì)數(shù)收益率的協(xié)方差在這五種定義下不同。結(jié)果是不是如此呢？先看數(shù)字。在這五種定一下，周對(duì)數(shù)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差分別為：

從數(shù)值上來(lái)看，在傳統(tǒng)日歷周的定義下，周對(duì)數(shù)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差最低。為此，我們有兩個(gè)猜想：

從這兩個(gè)猜想出發(fā)，不難寫(xiě)出這五種定義下，五個(gè)交易日的協(xié)方差矩陣（把協(xié)方差矩陣中的所有項(xiàng)相加就等于上面那個(gè)波動(dòng)率的式子，即得到周對(duì)數(shù)收益率的波動(dòng)率）。

定義 1 ——上周五收盤(pán)到本周五收盤(pán)（傳統(tǒng)的日歷周）——的協(xié)方差矩陣如下。為方便說(shuō)明，M、T、W、R、F 分別代表周一、周二、周三、周四和周五。矩陣中的對(duì)角線上的元素為方差項(xiàng)，非對(duì)角線上的元素——以 X 表示——代表非零的協(xié)方差項(xiàng)。根據(jù)猜想一，某些 X 的數(shù)值為負(fù)數(shù)。

定義 2 ——本周一收盤(pán)到下周一收盤(pán)——的協(xié)方差矩陣如下。由于這里出現(xiàn)了跨周，因此我們?cè)谙轮芤坏姆?hào)M上加上一個(gè) ~ 標(biāo)記，說(shuō)明它和之前的 T、W、R、F 來(lái)自不同的周。同一周內(nèi)的交易日之間仍然存在非零的協(xié)方差；但根據(jù)猜想二，屬于不同周的交易日之間協(xié)方差為零，協(xié)方差矩陣中的紅色的數(shù)字零正來(lái)自這個(gè)猜想。為了更清晰的表達(dá)，我們索性把 0 隱去，因此最終的協(xié)方差矩陣如下圖中最下方那個(gè)簡(jiǎn)化版所示。

以此類(lèi)推，可以寫(xiě)出后面三個(gè)定義下的協(xié)方差矩陣：

根據(jù)猜想二，在所有跨周的定義中，協(xié)方差矩陣中都有一些元素為零。與之相反的是，在定義 1 中，由于五天來(lái)自同一周而根據(jù)猜想一它們之間存在負(fù)相關(guān)。因此，比較這五個(gè)協(xié)方差矩陣可以得到如下推論：

我們可以通過(guò)數(shù)據(jù)來(lái)驗(yàn)證猜想一。下表為同一周內(nèi)不同日對(duì)數(shù)收益率之間的相關(guān)系數(shù)，可見(jiàn)確實(shí)存在負(fù)相關(guān)，且周一和周三、周二和周三、以及周三和周四之間的負(fù)相關(guān)都不低。另外周一和周二之間也存在負(fù)相關(guān)。

這其實(shí)不難理解。正如前面所說(shuō)，周一的高波動(dòng)率一定程度上源自市場(chǎng)對(duì)周末消息的過(guò)度解讀。當(dāng)市場(chǎng)冷靜下來(lái)后，則會(huì)出現(xiàn)和周一相反的收益率，造成周二和周三在一定程度上和周一的收益率負(fù)相關(guān)。

對(duì)于一個(gè)周頻策略，它的核心就是想過(guò)濾掉更高頻率的噪聲。從這個(gè)意義上說(shuō)，同一周內(nèi)日收益率之間的負(fù)相關(guān)是非常有利的。因此，對(duì)于周頻策略，使用傳統(tǒng)的日歷周定義來(lái)計(jì)算周收益率是恰當(dāng)?shù)摹?/strong>

4 其他指數(shù)上的實(shí)證

以上分析都是以上證指數(shù)為標(biāo)的進(jìn)行的。最后我們?cè)賮?lái)看看以上證 50、深圳成指、以及創(chuàng)業(yè)板指數(shù)為標(biāo)的的結(jié)果。

上證 50：

深圳成指：

創(chuàng)業(yè)板：

結(jié)果表明，這幾個(gè)指數(shù)也都基本滿(mǎn)足上面的兩個(gè)現(xiàn)象，即周一的波動(dòng)率最高，以及按照日歷周計(jì)算的周收益率的波動(dòng)率最低。唯一的例外是上證 50。它按日歷周計(jì)算的波動(dòng)率并不是五種定義下最低的。但是考慮到樣本誤差，以及它和最低值之間的細(xì)微差別，這個(gè)結(jié)果并不會(huì)改變本文的結(jié)論。

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