作者：石川

摘要：“How many of these factors are really important?” —— John Cochrane

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2011 年，時(shí)任 AFA 主席的?John Cochrane?在他的主席演講調(diào)侃了 zoo of factors，并提出了鏗鏘三問。其中第三個(gè)問題是：

“How many of these factors are really important?”

這個(gè)問題引發(fā)了關(guān)于隨機(jī)貼現(xiàn)因子（SDF）是否有稀疏表達(dá)（sparsity）的大討論。由資產(chǎn)定價(jià)理論可知，SDF 可以被表示為一系列資產(chǎn)的線性組合（Hansen and Richard 1987）：

??

式中??為隨機(jī)貼現(xiàn)因子，??維向量??表示資產(chǎn)的超額收益率，??維向量??表示它們?cè)?SDF 中的權(quán)重。理論上我們可以用個(gè)股作為資產(chǎn)來(lái)構(gòu)造（span）SDF。但由于參數(shù)估計(jì)問題，常見的做法是使用投資組合（即因子）代替?zhèn)€股作為資產(chǎn)。因此，Cochrane 的第三個(gè)問題就可以重述為，??的表達(dá)式中到底需要多少個(gè)因子。

關(guān)于這個(gè)問題，稀疏 vs. 不稀疏兩派均有人支持：

1.?認(rèn)為 SDF 有稀疏表達(dá)的研究包括使用正則化（進(jìn)行變量選擇）或者降維技術(shù)來(lái)估計(jì)低維 SDF；

2.?認(rèn)為 SDF 沒有稀疏表達(dá)的研究則指出，在估計(jì) SDF 時(shí)應(yīng)該考慮盡可能多的因子。

以下兩個(gè)小結(jié)分別簡(jiǎn)要闡述這兩派的觀點(diǎn)。本文最后會(huì)給出我的看法。

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首先來(lái)看稀疏 SDF 的相關(guān)研究。

為尋求低維 SDF，一個(gè)自然的想法就是在模型中稀疏性約束（sparsity constraint）。這可以通過加入??正則化來(lái)實(shí)現(xiàn)。這方面的研究包括 Feng, Giglio and Xiu (2020) 和 Freyberger, Neuhierl and Weber (2020)。這二者都通過 Lasso-style 回歸進(jìn)行變量選擇，從而得到了稀疏的 SDF。

以前者為例，下圖展示了每個(gè)因子被模型選擇的概率。該文的實(shí)證發(fā)現(xiàn)顯示，在 120 多個(gè)候選因子中只有 17 個(gè)因子是有用的，而其他大多數(shù)因子則是冗余或無(wú)用的。

類似地，后者也給出了稀疏 SDF 的實(shí)證結(jié)果。下圖展示了在他們的實(shí)證區(qū)間內(nèi)，每個(gè)因子被選中的情況。圖中藍(lán)色區(qū)域標(biāo)識(shí)被選中。在 1990 到 2014 年之間，被選中的平均個(gè)數(shù)約為 14，和 Feng, Giglio and Xiu (2020) 在數(shù)量上十分接近。

除了變量選擇之外，另一個(gè)思路是降維（dimension reduction）。近年來(lái)諸多基于 PCA 及其變化的方法已經(jīng)將這條研究線發(fā)揮的淋漓盡致。這其中一篇代表作是?Lettau and Pelger (2020)。該文認(rèn)為傳統(tǒng) PCA 方法僅僅利用了收益率的二階矩信息，丟失掉了原始因子和資產(chǎn)收益率在截面上的關(guān)系，即一階矩信息。因此，它在 PCA 的 loss function 中加入了一階矩信息，進(jìn)而提出了 PR-PCA（risk premium PCA）估計(jì)量。

實(shí)證分析表明，RP-PCA 在絕大多數(shù)情況下都優(yōu)于 PCA，且可以將大量因子涵蓋的信息聚合到 5 個(gè)低維主成分上。其中，第一主成分有非常高的方差和較為顯著的平均收益，表現(xiàn)非常類似市場(chǎng)因子；第三主成分可視作價(jià)值因子；第五主成分近似于短期反轉(zhuǎn)因子。而第二和第四主成分更偏重是諸多原始因子的組合。

無(wú)論是變量選擇還是降維，都可以產(chǎn)生 SDF 的稀疏表達(dá)。然而，一個(gè)必須要面對(duì)和回答的問題是，雖然不同方法給出的 SDF 都是低維的，但它們涵蓋的原始因子卻未必相同。事實(shí)上，頗有意思的是，上面提到的 Lettau and Pelger (2020) 和 Freyberger, Neuhierl and Weber (2020) 兩篇文章都出自 2020 年 RFS 的特刊?New Methods for the Cross-Section of Returns。在特刊的導(dǎo)讀中，兩位編輯 Karolyi and Van Nieuwerburgh (2020) 也就如何尋找低維定價(jià)模型中的共性靈魂發(fā)問，激勵(lì)學(xué)術(shù)界探尋不同模型導(dǎo)致不同因子這一現(xiàn)象背后的原因。

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關(guān)于 SDF 的非稀疏表達(dá)，一篇值得一提的實(shí)證研究是 Kozak, Nagel and Santosh (2020)。當(dāng)然，與其說這篇文章是明確立場(chǎng)，倒不如說它是在探究這個(gè)問題。（你馬上就會(huì)知道為啥這么說。）

該文首先使用 50 個(gè)基于公司特征構(gòu)造的因子來(lái)估計(jì) SDF，并通過同時(shí)加入??和??正則化挑選變量以及控制模型的復(fù)雜度。在下圖所示結(jié)果中，顏色越亮（越發(fā)黃）的區(qū)域?qū)?yīng)著越高的樣本外預(yù)測(cè)性。圖中的縱坐標(biāo)表示模型納入的因子的個(gè)數(shù)，橫坐標(biāo)表示??正則化的強(qiáng)度。結(jié)果清晰地顯示出，黃色區(qū)域聚焦于模型包含足夠多因子的情況，說明 SDF 并不稀疏。此外，伴隨諸多因子被納入 SDF 的是足夠強(qiáng)的??正則化。二者缺一不可。

不過有意思的是，該文并未放棄構(gòu)造稀疏 SDF 的嘗試。為此，三位作者首先對(duì)原始的 50 個(gè)因子使用 PCA，旨在通過統(tǒng)計(jì)手段在不損失預(yù)測(cè)信息的前提下構(gòu)造簡(jiǎn)約模型。下圖展示了以 50 個(gè)主成分作為因子并估計(jì) SDF 的情況。和使用原始因子相比，此時(shí)亮黃色的區(qū)域覆蓋了模型只納入少數(shù)因子的情況。這意味著，只需要通過有限幾個(gè)主成分就能夠獲得足夠的樣本外預(yù)測(cè)性，因而實(shí)現(xiàn)了稀疏的 SDF。但盡管如此，由于每個(gè)主成分都是所有原始因子的線性組合，因此該 SDF 表達(dá)依然隱含地納入了眾多因子的信息。

上述結(jié)論也在?Bryzgalova, Huang and Julliard (2023)?中得到了進(jìn)一步確認(rèn)。該文以 51 個(gè)因子的超過 2 千萬(wàn)億種排列組合所構(gòu)造的模型為分析對(duì)象，發(fā)現(xiàn)不存在某個(gè)最優(yōu)的模型，而是存在數(shù)百種可能的模型設(shè)定，給出了幾乎相同的資產(chǎn)定價(jià)實(shí)證結(jié)果。更為重要的是，盡管它們的方法識(shí)別出一些對(duì)于構(gòu)造 SDF 來(lái)說最重要的因子，但它們并不能完全描述 SDF。反之，SDF 在可觀測(cè)的因子空間中密集（dense）的。它們的模型能夠有效聚合不同因子所涵蓋的關(guān)于 SDF 的帶噪聲信息。

另外，談到非稀疏 SDF，不得不提的另一個(gè) research agenda 就是 Bryan Kelly 的“復(fù)雜度美德”系列文章。在最新的 Didisheim et al. (2023) 中，幾位作者將復(fù)雜度美德推廣到了截面定價(jià)模型。該文的結(jié)果顯示，來(lái)自因子定價(jià)模型的樣本外定價(jià)誤差會(huì)隨著因子數(shù)量的增加而減少。無(wú)疑，這種偏好復(fù)雜度的觀點(diǎn)挑戰(zhàn)了傳統(tǒng)的 APT（Ross 1976），即少量的風(fēng)險(xiǎn)因子應(yīng)該捕捉資產(chǎn)之間的風(fēng)險(xiǎn)和收益率的權(quán)衡。然而，用該文自己的話說，即使不存在套利且真實(shí) SDF 存在，人們也能夠在實(shí)證中持續(xù)地挖出新的、未被已有因子定價(jià)的因子（或異象），而將它們加到 SDF 中會(huì)持續(xù)改善樣本外的表現(xiàn)。

另外，鑒于?SDF 和 MVE 組合的等價(jià)性，該文的理論和實(shí)證結(jié)果對(duì)業(yè)界的啟發(fā)是，隨著納入投資組合的因子個(gè)數(shù)的增多，其樣本外的風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整后收益會(huì)提高。也就是說，對(duì)投資者來(lái)說，最優(yōu)的 MVE 組合是使用大量因子，從而提高樣本外的夏普比率。此外，Kelly 他們的發(fā)現(xiàn)對(duì)于 zoo of factors 也有新的解讀。即實(shí)證中的大量異象既不是令人頭疼的難題，更不意味著學(xué)術(shù)界的?p-hacking?風(fēng)氣盛行（Jensen, Kelly and Pedersen 2023）。反之，它是在復(fù)雜的資產(chǎn)定價(jià)環(huán)境中的必然結(jié)果。

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毫無(wú)疑問，估計(jì) SDF 是實(shí)證資產(chǎn)定價(jià)中的最核心問題。因?yàn)橐坏┯辛?SDF，通過資產(chǎn)和它的協(xié)方差就可以給資產(chǎn)定價(jià)。而關(guān)于這個(gè)問題，一個(gè)人的看法取決于他所持有的立場(chǎng)。站在業(yè)界的角度，我們關(guān)心的如何最大化樣本外條件夏普比率。從這個(gè)立場(chǎng)出發(fā)，我個(gè)人認(rèn)同 SDF 是非稀疏的，或者說我更傾向在估計(jì) SDF 的時(shí)候使用更多的因子。

為了給出進(jìn)一步的說明，仍然回到 SDF 和 MVE 的等價(jià)性。在數(shù)據(jù)如此豐富的時(shí)代，用于構(gòu)造真實(shí) MVE 組合的因子可能會(huì)有很多，而每個(gè)低維模型都隱含了對(duì) MVE（也即 SDF）所包含因子的先驗(yàn)。比如，最簡(jiǎn)單的 FF3 使用規(guī)模和價(jià)值兩個(gè)因子，意味著該模型認(rèn)為這兩個(gè)組合在 MVE 組合/SDF 中這兩個(gè)因子的權(quán)重非零。所以，我們必須客觀的問自己是否有足夠充分的先驗(yàn)認(rèn)為并相信 SDF 只和少數(shù)幾個(gè)因子有關(guān)。

Baba-Yara, Boyer and Davis (2021)?從 MVE 組合夏普比率的角度比較了諸多使用傳統(tǒng)和機(jī)器學(xué)習(xí)方法構(gòu)造的低維實(shí)證模型，發(fā)現(xiàn)這些模型并不能解釋彼此。該文通過貝葉斯統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)當(dāng)潛在的因子數(shù)非常大時(shí)，使用不同先驗(yàn)的模型（哪怕其中包含真實(shí)的模型）都注定無(wú)法為彼此定價(jià)。換句話說，在因子的高維數(shù)時(shí)代，從 pricing error 檢驗(yàn)的角度出發(fā)，不存在最優(yōu)的低維模型，所以這種 factor war 比較似乎是徒勞的（或者說 factor model "failure" 是注定的）。而如果以最大化夏普比率為目標(biāo)，與其苦苦尋找低維 SDF，也許更應(yīng)該想想如何利用好眾多因子所包含的信息。

參考文獻(xiàn)

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Ross, S. A. (1976). The arbitrage theory of capital asset pricing.?Journal of Economic Theory 13(3), 341-360.

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