作者：石川

摘要：本文通過(guò) Cui et al. (2025) 簡(jiǎn)要探討因子擇時(shí)。

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之前兩期文章的 topics 都出自 2024/25 年度中國(guó)量化投資白皮書(shū)中提到機(jī)構(gòu)策略探索清單。今天，我們照舊從中找些靈感。在這份清單上，排名第四的不是別人，正是大名鼎鼎的因子擇時(shí)。

熟悉我的小伙伴都知道，長(zhǎng)久以來(lái)，我對(duì)因子擇時(shí)的觀點(diǎn)是這樣的：

是這樣的：

是這樣的：

不過(guò)，今年 5 月，我聽(tīng)了一個(gè)題為《Breaks and Trends in Factor Premia》的報(bào)告。盡管我對(duì)因子擇時(shí)的態(tài)度依舊保守，但我認(rèn)為這個(gè)方法值得嘗試。之所以“拖”到今天才介紹它，是因?yàn)檫@篇文章不久前才被掛到 SSRN（Cui et al. 2025）。

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該文方法背后的直覺(jué)含義可以通過(guò)下面這個(gè)例子來(lái)解釋。圖中曲線是利用 B/M 構(gòu)造的價(jià)值因子的累計(jì)收益曲線。（不過(guò)我插一句，這個(gè)圖的走勢(shì)我和認(rèn)知中的美股上價(jià)值因子自 GFC 之后持續(xù)回撤了 10 年不太一致；anyway。）

如果假設(shè)全局內(nèi)該因子 risk premium 不變，那么得到的就是圖中藍(lán)色直線，而該直線的 slope 就是因子溢價(jià)的估計(jì)。然而，如果我們把估計(jì)的頻率逐步提升，就會(huì)相繼得到綠色和紅色的動(dòng)態(tài)因子溢價(jià)估計(jì)；它們表示不同時(shí)間的條件因子溢價(jià)。

因此，估計(jì)的核心就是選擇適當(dāng)?shù)臅r(shí)間尺度。一方面，我們希望在假設(shè) risk premium 時(shí)變的前提下盡可能利用數(shù)據(jù)中的信息（即不同的 risk premium 確實(shí)反映了 structural breaks），而另一方面我們同樣希望避免過(guò)擬合。而實(shí)現(xiàn)上述 trade-off 的方法就是正則化——該文提出了 Total-Variation Predictive Regression (TV-PR) estimator。

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令??表示??期資產(chǎn)??的超額收益率；向量??表示??期資產(chǎn)??的因子值（經(jīng)過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化后的 firm characteristics）。那么，我們熟悉的兩種做法其實(shí)代表了兩種極端情況。

第一種是假設(shè)全局內(nèi) risk premium 不變。此時(shí)，因子溢價(jià)可以通過(guò)下面這個(gè) panel regression 來(lái)估計(jì)：

注意此處??是不帶下標(biāo)??的，表示因子溢價(jià)不隨時(shí)間變化。

而另一種極端是我們熟悉的 Fama-MacBeth regression，即每期都來(lái)估計(jì)一個(gè)?:

以 size、value 和 momentum 為例，下圖展示了上述兩種極端情況，其中 panel (a) 是恒定因子溢價(jià)的情況；而 panel (b) 則表示每期因子溢價(jià)都在變化。

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Okay，接下來(lái)我們就來(lái)看看 TV-PR estimator。它的核心是一個(gè) lasso type estimator，只不過(guò)把 sparsity 用在了識(shí)別因子溢價(jià)的 breaks 上面，具體的目標(biāo)函數(shù)如下：

上式中，第一項(xiàng)就是常見(jiàn)的 mse；而第二項(xiàng)是 TV-PR estimator 的核心，它衡量了時(shí)變因子溢價(jià)的 total variation，并通過(guò) L1-norm 罰項(xiàng)的形式來(lái)控制過(guò)擬合（其中??是因子個(gè)數(shù)），控制識(shí)別出的因子溢價(jià) breaks 數(shù)量；而第三項(xiàng)是在因子層面的 sparsity（用于 factor selection）。下圖的例子說(shuō)明了該 estimator 中兩個(gè)罰項(xiàng)的作用。

由第二項(xiàng)的形式可知，當(dāng)??很小的時(shí)候（懲罰很低），模型會(huì)傾向于識(shí)別出更多的 breaks，即朝著 period-by-period Fama-MacBeth regression 來(lái)靠攏；而當(dāng)??很大的時(shí)候（懲罰很高），模型會(huì)傾向于識(shí)別出更少的 breaks，即朝著恒定因子溢價(jià)靠攏。

更多的關(guān)于該 estimator 的 statistical properties 的討論請(qǐng)參考原文。我們接下來(lái)看看美股上的實(shí)證結(jié)果。

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首先，下圖展示了 2004-2023 年之間，常見(jiàn)美股因子上的因子溢價(jià)估計(jì)結(jié)果。

其次，作者用一個(gè)例子表明了在不同 rolling window 下，識(shí)別出的 structural breaks 的穩(wěn)健性。這一點(diǎn)對(duì)于后文使用 rolling window 來(lái)估計(jì)并進(jìn)行因子擇時(shí)（終于扣題了）至關(guān)重要。如果 breaks 確實(shí)反映了經(jīng)濟(jì)基本面的轉(zhuǎn)變，那么在這些 breaks 附近進(jìn)行估計(jì)時(shí)，應(yīng)能較為一致地檢測(cè)到 breaks 的出現(xiàn)。下圖的結(jié)果表明了這一點(diǎn)。

圖中，Estimation 1 to 4 均能在 2010 年前后檢測(cè)到一個(gè)顯著的 break，并且伴隨著風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)的上升（紅色）。值得注意的是，即使樣本期正好從事件發(fā)生期間開(kāi)始（Estimations 4 and 5），該 break 依然能夠被識(shí)別出來(lái)。這個(gè)結(jié)果表明，能否識(shí)別到 breaks 依賴于樣本期是否覆蓋了其發(fā)生的時(shí)點(diǎn)，且只要窗口覆蓋范圍足夠靠近事件發(fā)生時(shí)點(diǎn)，檢測(cè)的延遲就很小，進(jìn)而為因子擇時(shí)提供了及時(shí)的參考。

下面順理成章，來(lái)看看因子擇時(shí)的結(jié)果。為此，作者首先考差了基于截面相對(duì)強(qiáng)弱的因子輪動(dòng)策略，即做多因子溢價(jià)估計(jì)值最高的 5 個(gè)因子、同時(shí)做空估計(jì)值最低的 5 個(gè)因子。下圖表明，結(jié)果在不同的超參數(shù)??取值下較為穩(wěn)健，且都能戰(zhàn)勝基于動(dòng)量的因子選擇（要知道因子動(dòng)量在美股還是很 strong 的）。

此外，作者也考察了單個(gè)因子以及單類別因子基于 risk premium 估計(jì)的時(shí)序擇時(shí)，并和 buy-and-hold 來(lái)比較，結(jié)果如下。圖中 45 度紅色虛線表示兩種策略的分界線：如果結(jié)果處于分界線之上則表明擇時(shí)優(yōu)于 buy-and-hold。可見(jiàn)，對(duì)于絕大部分單因子而言，基于該 estimator 的因子擇時(shí)都戰(zhàn)勝了 buy-and-hold；而如果以大類因子來(lái)考察，擇時(shí)的優(yōu)勢(shì)則更加明顯。

Okay. 以上就是對(duì)該方法的簡(jiǎn)要介紹。希望它能為你的因子擇時(shí)提供一些思路。

而如果你問(wèn)我？我的看法是因子注定會(huì)失效，structural breaks 也一定會(huì)出現(xiàn)。而是通過(guò)類似上述 estimator 進(jìn)行時(shí)變估計(jì)，還是采用什么別的方法來(lái)應(yīng)對(duì)，是我們每個(gè)人自己要做的功課。共勉。

References

• Cui, L., G. Feng, J. Ma, and Y. Su (2025). Breaks and trends in factor premia. Working paper.

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