作者：石川

摘要：PCA 及其各種變化已成為估計(jì)隱性因子模型的利器。本文帶你了解實(shí)證資產(chǎn)定價(jià)領(lǐng)域中 PCA 的源起，中興和未來(lái)。

1 源起

APT (Ross 1976) 指出資產(chǎn)收益率和因子之間的線性結(jié)構(gòu)。根據(jù)定義，我們可以把資產(chǎn)協(xié)方差矩陣用因子暴露和因子溢價(jià)的協(xié)方差矩陣表示，即：

??

其中??、??以及??分別為資產(chǎn)協(xié)方差矩陣、因子協(xié)方差矩陣和隨機(jī)擾動(dòng)的協(xié)方差矩陣；??是因子暴露。Ross (1976) 假設(shè)不同資產(chǎn)的隨機(jī)擾動(dòng)不相關(guān)，因此??為對(duì)角陣。滿足該條件的因子模型被稱為嚴(yán)格的因子模型（exact factor model）。

上式意味著因子的協(xié)方差應(yīng)能解釋資產(chǎn)協(xié)方差的一大部分。因此，我們也可以從資產(chǎn)的協(xié)方差矩陣出發(fā)來(lái)估計(jì)隱性（latent）因子和相應(yīng)的因子暴露。談到分析協(xié)方差矩陣，最直接的是因子分析（factor analysis）。Roll and Ross (1980) 通過(guò)這種方法分析了早年的美股收益率數(shù)據(jù)并發(fā)現(xiàn)了三到四個(gè)因子，它們?cè)谝欢ǔ潭壬铣晒Φ慕忉屃速Y產(chǎn)的預(yù)期收益率。

之后，Chamberlain and Rothschild (1983) 放松了 Ross 關(guān)于??的假設(shè)，允許隨機(jī)擾動(dòng)之間弱相關(guān)，并由此得到了近似的因子模型（approximate factor model）。對(duì)于該模型，他們指出用 PCA 代替因子分析可以得到同樣的結(jié)果。另外，Connor and Korajczyk (1986,1988) 提出了當(dāng)截面（cross-section）上資產(chǎn)個(gè)數(shù)增大時(shí)的漸近主成分分析（asymptotic principal components）。這些研究一舉奠定用 PCA 研究隱性因子或統(tǒng)計(jì)因子（statistical factor）的基礎(chǔ)。

然而在實(shí)證方面，應(yīng)用 PCA 卻并沒有那么順利。Connor and Korajczyk (1988) 最早使用大約 1500 支股票研究了隱性因子模型的表現(xiàn)。結(jié)果顯示，盡管基于 PCA 的因子模型比起?CAPM 模型更能解釋樣本中的風(fēng)險(xiǎn)和收益率，但定價(jià)誤差依然非常顯著。這是因?yàn)榛?PCA 估計(jì)的時(shí)無(wú)條件（或靜態(tài)）因子模型（即 beta 不隨時(shí)間變化），而這類模型很難描述個(gè)股級(jí)別的數(shù)據(jù)。從那之后，PCA 便淡出了人們的視線。

2 中興

近年來(lái)，隨著機(jī)器學(xué)習(xí)在實(shí)證資產(chǎn)定價(jià)中的廣泛應(yīng)用，PCA 再次回到了人們的視線。這一現(xiàn)象在一定程度上得益于三方面的原因。

首先最重要的原因是，盡管基于個(gè)股協(xié)方差矩陣的 PCA 所構(gòu)造的隱性因子模型在描述個(gè)股面板數(shù)據(jù)時(shí)效果不理想，但如果把 assets 換成基于公司特征構(gòu)造的投資組合，然后使用投資組合的協(xié)方差矩陣作為 PCA 的輸入，則得到的隱性多因子模型能夠很好的為這些資產(chǎn)定價(jià)。這方面的代表包括?Kozak, Nagel and Santosh (2018, 2020)。

第二個(gè)原因是從無(wú)條件（靜態(tài)）因子模型向條件（動(dòng)態(tài)）因子模型的轉(zhuǎn)變，這背后的代表是 Kelly et al. (2019) 的工具變量 PCA（IPCA）模型。該模型和前述研究最大的區(qū)別是將因子暴露 beta 視為公司特征的函數(shù)，從而對(duì) beta 直接建模。由于公司特征是隨時(shí)間變化的，因此 beta 也自然就是時(shí)變的。以此得到的隱性因子模型能夠更好的捕捉資產(chǎn)收益率在時(shí)序的變化以及在截面上的差異。后續(xù)一些比較基于不同機(jī)器學(xué)習(xí)方法所構(gòu)造的因子模型的實(shí)證研究發(fā)現(xiàn)，IPCA 方法不輸于（甚至是優(yōu)于）一些更復(fù)雜的非線性模型（例如深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)）。

第三個(gè)原因是從經(jīng)濟(jì)學(xué)角度對(duì)傳統(tǒng) PCA 目標(biāo)函數(shù)的擴(kuò)展，使通過(guò)它得到的隱性模型有更好的定價(jià)能力。關(guān)于這點(diǎn)，我們可以通過(guò) Lettau and Pelger (2020a, b) 提出的?Risk-Premium PCA（PR-PCA）為例來(lái)理解。令??表示資產(chǎn)的超額收益率矩陣、??表示資產(chǎn)超額收益率時(shí)序均值向量。則傳統(tǒng) PCA 是對(duì)資產(chǎn)的（樣本）協(xié)方差矩陣，即：

??

來(lái)進(jìn)行。不難看出，傳統(tǒng) PCA 方法只考慮了收益率的二階矩信息，而忽視了和定價(jià)可能更為相關(guān)的一階矩信息?；谶@個(gè)動(dòng)機(jī)，Lettau and Pelger (2020a, b) 對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行了變形，加入了一階矩信息：

??

并通過(guò)參數(shù)??控制一階矩信息的強(qiáng)弱（當(dāng)??時(shí)，上述表達(dá)式退化為樣本協(xié)方差矩陣）。以該目標(biāo)得到的隱性因子模型被證明在樣本外有更好的定價(jià)能力以及更高的夏普比率。

3 未來(lái)

Lettau and Pelger (2020a, b) 的研究事實(shí)上為進(jìn)一步發(fā)揮 PCA 在實(shí)證資產(chǎn)定價(jià)中的作用提供了一個(gè)可行的思路，即人們能否通過(guò)經(jīng)濟(jì)學(xué)指引對(duì)樣本協(xié)方差矩陣進(jìn)行其他變形，從而更好的估計(jì)隱性因子模型。Bryzgalova et al. (2023) 一文從時(shí)序和截面角度精彩地回答了這個(gè)問(wèn)題。（BTW，去年我沒在知乎上回答 202X 年優(yōu)秀的金融學(xué)論文這個(gè)問(wèn)題。如果要我來(lái)回答，那么它就是 Bryzgalova et al. 2023）。

這篇文章最大的價(jià)值，是提出了如何在樣本協(xié)方差矩陣中納入截面或時(shí)序或 both 信息的一個(gè)框架。在數(shù)學(xué)上，它們均可以被表達(dá)為在樣本協(xié)方差矩陣中加入相關(guān)信息的形式，并通過(guò)罰參數(shù)來(lái)控制信息的強(qiáng)弱。以截面信息為例，我們可以對(duì)如下矩陣進(jìn)行 PCA：

??

其中??表示含有截面信息的截面投影矩陣，??可以理解為截面信息的維數(shù)。那么，從經(jīng)濟(jì)學(xué)先驗(yàn)出發(fā)，可以考慮哪些截面和時(shí)序信息呢？

先來(lái)說(shuō)截面方面。大量實(shí)證結(jié)果表明通過(guò)公司特征進(jìn)行組合排序而構(gòu)造的分位數(shù)投資組合的收益率往往十分單調(diào)。因此我們自然希望這些投資組合對(duì)于 PCA 得到的隱性因子的暴露也是單調(diào)的。我們可以以此為目標(biāo)對(duì)樣本協(xié)方差矩陣進(jìn)行相應(yīng)的變形。再說(shuō)時(shí)序方面。上一節(jié)介紹的 PR-PCA 已經(jīng)是這方面的一個(gè)特例，即它在樣本協(xié)方差矩陣的基礎(chǔ)上加入了不同資產(chǎn)收益率時(shí)序均值的信息??。除此之外，我們還可以考慮其他的時(shí)序信息，比如資產(chǎn)相對(duì)給定定價(jià)模型（例如?FF5）的定價(jià)誤差 alpha。這背后的動(dòng)機(jī)是，我們希望隱性因子模型所估計(jì)出的因子，能夠有效地對(duì)該定價(jià)模型無(wú)法解釋的收益率部分定價(jià)。

從 Bryzgalova et al. (2023) 的實(shí)證結(jié)果來(lái)看，加入截面或者時(shí)序信息的 PCA 在樣本內(nèi)、外均能獲得更好的結(jié)果，體現(xiàn)為更小的定價(jià)誤差以及更高的夏普比率。那么，為什么加入這些信息有助于估計(jì)出更好的因子呢？對(duì)于估計(jì)隱性因子而言，能否發(fā)現(xiàn)一個(gè)因子的關(guān)鍵因素在于因子的強(qiáng)度，即它能解釋資產(chǎn)收益率共同運(yùn)動(dòng)的比例。這一點(diǎn)從 PCA 的結(jié)果不難理解：找到的因子對(duì)應(yīng)著特征值最大的特征向量。然而，如果一個(gè)因子僅能解釋很少的波動(dòng)，它就是一個(gè)弱因子（week factor），哪怕它帶有關(guān)于截面預(yù)期收益率差異的重要信息，也無(wú)法被 PCA 發(fā)現(xiàn)。在樣本協(xié)方差矩陣中加入截面和/或時(shí)序信息的作用就是為了提高弱因子的強(qiáng)度。因此，盡管一個(gè)因子就解釋資產(chǎn)波動(dòng)而言可能很弱，但是它在新加入的信息方面可能很強(qiáng)。通過(guò)對(duì)協(xié)方差矩陣的變形能夠提升這些因子的強(qiáng)度，從而讓它們可以被發(fā)現(xiàn)和估計(jì)。

對(duì)于不同類型的因子，加入新信息都是有益的。那些原本無(wú)法僅通過(guò)協(xié)方差矩陣檢測(cè)到的弱因子，現(xiàn)在可以被估計(jì)出來(lái)。那些強(qiáng)度一般的因子（semi-weak factors），能夠以更高的收斂率被估計(jì)出來(lái)。而對(duì)于本來(lái)就能夠解釋大部分波動(dòng)的強(qiáng)因子而言，加入上述信息也能提升它們的估計(jì)效率。這是因?yàn)榧尤氲慕孛婧蜁r(shí)序信息包含了收益率的一階矩信息，而如此得到的 PCA 可以被視為一個(gè)矩估計(jì)量，其中通過(guò)優(yōu)化罰參數(shù)來(lái)權(quán)衡不同的矩信息。

Bryzgalova et al. (2023) 所提出的框架的意義在于，它能夠讓人們根據(jù)自己的目標(biāo)，通過(guò)適當(dāng)?shù)慕?jīng)濟(jì)學(xué)依據(jù)來(lái)引入關(guān)于隱性因子的先驗(yàn)信息，并得到更好的隱性因子模型。它代表了 PCA 的未來(lái)。最后，讓我以 Bryzgalova et al. (2023) 自己的話總結(jié)并結(jié)束本文：

Our framework can be used to study a broad class of various asset-pricing restrictions related to different spanning properties of the risk factors as well as shape restrictions on their loadings. Importantly, we do not aim to provide a single most efficient way to recover the underlying SDF by choosing “optimal” priors. Instead, we allow the researcher to specify different types of restrictions consistent with both structural and reduced-form insights about the cross-section of asset returns and risk factors that drive it.

參考文獻(xiàn)

Bryzgalova, S., V. DeMiguel, S. Li, and M. Pelger (2023). Asset-pricing factors with economic targets. Working paper.

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