作者：石川

摘要：本文從五方面闡述中低頻實證資產(chǎn)定價中的機器學習應用。

自?Gu, Kelly and Xiu (2020) 這篇綜述把機器學習方法正式引入實證資產(chǎn)定價研究以來，學術(shù)界的一眾學者在這幾年將各種（線性的非線性的）機器學習模型都應用到了股票收益率的預測之上。

這背后的契機是大數(shù)據(jù)和機器學習時代協(xié)變量的激增以及協(xié)變量和未來收益率之間的復雜關系。這二者給傳統(tǒng)基于計量經(jīng)濟學方法的實證研究帶來了巨大的挑戰(zhàn)。毫無疑問，計量經(jīng)濟學方法是可以被用來分析簡單線性關系和進行參數(shù)審定（parameter adjudication）的利器，然而它并非處理高維預測（prediction）問題時的首選。對于后者來說，早在自然語言處理、圖像識別等其他領域證明了自己的機器學習算法自然而然地走進了人們的視野。

伴隨而來的，是學界的研究從 diminishing anomalies（即提出?ad-hoc 簡約模型來消滅異象）向 increasing prominence of machine learning methods（即如何通過機器學習算法得到更好的預測）的轉(zhuǎn)型，并從中形成新的研究范式。研究悄然從 procedurally 轉(zhuǎn)向了 empirically。無論認可與否，在大勢面前，一切似乎都不可逆轉(zhuǎn)，那些將機器學習算法用于資產(chǎn)定價并發(fā)表在頂刊上的實證文章就是最好的證明。

通讀這些基于美股市場（當然，有不少已經(jīng)被 copy & paste 到了 A 股，sorry for 吐槽）、發(fā)表在頂刊上的實證文章其實不難發(fā)現(xiàn)，無論是理論描述還是實證結(jié)果，它們都有很多的共性。深入理解它們，有助于加深對將機器學習算法應用于實證資產(chǎn)定價的正確認知。因此，今天這篇小文就以 Facts 和 Fictions 為題從五方面梳理這類研究的“是”與“非”。希望通過此文幫你客觀了解實證研究的現(xiàn)狀。

最后想要強調(diào)的是，本文的闡述僅限于中低頻實證資產(chǎn)定價中的機器學習應用。在國內(nèi)外的量化投資實踐中，注定會有一些領先于學術(shù)研究的內(nèi)容，但它們不在本文討論范圍之內(nèi)。另外，本文參考文獻中優(yōu)先引用已發(fā)表的版本。

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Fiction:?將數(shù)據(jù)無腦扔進高級算法，單純指望數(shù)據(jù)發(fā)聲。

金融數(shù)據(jù)低信噪比和不滿足平穩(wěn)性這兩個特點足以打消人們單純指望數(shù)據(jù)發(fā)聲的良好愿景。就資產(chǎn)定價來說，參數(shù)先驗、協(xié)變量尺度縮放、正則化罰項以及調(diào)參依據(jù)選擇等都會影響最終的結(jié)果（Nagel 2021，我和王熙老師的翻譯在此）。

下面這個例子來自 Nagel (2021)，雖然簡單，但能清晰闡明上面的問題。假設我們使用過去 120 期的歷史收益率以及它們的平方和三次方作為協(xié)變量來預測下一期收益率。下表總結(jié)了不同設定下的預測結(jié)果。其中 Method 一欄表明了正則化的罰項（OLS 表示沒有正則化），Scaling 一欄表明對協(xié)變量進行了怎樣的標準化處理（Equal 表示協(xié)變量都被標準化到均值為 0、標準差為 1；Unequal 表明協(xié)變量標準化之后的標準差不同），CV criterion 一欄表示調(diào)參的依據(jù)（例如以驗證集 R-squared 或者以投資組合在驗證集上的預期收益率??）。

表中的實證結(jié)果顯示，模型設定對于會產(chǎn)生怎樣的結(jié)果影響很大。然而，當我們面臨眾多選擇時，不該也無法枚舉所有的排列組合，而是應該充分利用先驗。例如，如果我們認為模型是非稀疏的，那么就會傾向 Ridge 而非 Lasso；如果我們認為協(xié)變量在預測收益率時的重要程度不同，可能就會選擇 Unequal 而非 Equal 的處理方式；如果我們從金融問題核心出發(fā)，可能會選擇以最大化夏普比率（或最小化 pricing errors）而非傳統(tǒng)的 R-squared 來進行模型調(diào)優(yōu)。而這些的背后，都離不開資產(chǎn)定價理論。

Fact:?以大數(shù)據(jù)為依托、以機器學習算法為工具，圍繞資產(chǎn)定價理論展開。

在實證資產(chǎn)定價這個領域，從 CAPM，到 APT/ICAPM，再到 zoo of factors，層出不窮的實證挑戰(zhàn)無疑極大推動了學科的發(fā)展。然而，無論范式如何演化，研究都是圍繞著實證資產(chǎn)定價理論展開的。

以最近幾年火爆的幾篇文章為例，Bryzgalova, Pelger and Zhu (2020) 以及 Chen, Pelger and Zhu (forthcoming)，雖然前者使用了決策樹而后者使用了生成對抗網(wǎng)絡（GAN），但它們都是在隨機貼現(xiàn)因子（SDF）這一框架下將不同的算法應用于資產(chǎn)定價。又比如，Kelly, Pruitt and Su (2019) 的 IPCA 以及 Gu, Kelly and Xiu (2021) 的 Autoencoder 則使用了隱性多因子模型，即把??視為協(xié)變量（例如公司特征和宏觀經(jīng)濟變量）的函數(shù)并對??建模。不同的是，KPS 使用的線性模型，而 GKX 使用的非線性模型；此外，由于??是時變協(xié)變量的函數(shù)，因此二者本質(zhì)上都是條件定價模型。

在實證方面，這些文章的共性是使用了大量的協(xié)變量（of course 較傳統(tǒng)研究而言），并通過投資組合的 OOS 表現(xiàn)來表明方法的有效性。雖然它們各自嘗試了不同的機器學習算法，但鑒于 SDF 和多因子模型的等價性，它們都可以被放在一統(tǒng)的框架下審視和學習。

2

Fiction:?機器學習模型是黑箱，學術(shù)研究不關注可解釋性。

對于傳統(tǒng)的 ad-hoc 多因子模型或者異象研究而言，可解釋性是它們的靈魂。比如 FF5 是基于 DDM、q-factor model 是基于 q-theory。而各種關于異象的論文中也會有解釋（risk-based vs mispricing）。而一旦把研究目標轉(zhuǎn)移到通過復雜模型構(gòu)造更準確的收益率預測，給人的印象就是這方面的要求就被淡化了。然而，事實并非如此。

對于線性模型而言，例如 Kozak, Nagel and Santosh (2018, 2020) 的 PCA，以及 KPS 的 IPCA，模型的解釋是非常清晰的。以前者為例，KNS 在對通過 size 和 value 劃分出的 25 個投資組合進行 PCA 時發(fā)現(xiàn)前兩個 PCs 完美對應著 SMB 和 HML 因子；而對于后者而言，IPCA 雖然在數(shù)學上看似繁瑣，但其背后的直覺解釋卻是一系列通過 cross-section regression 構(gòu)造的 managed portfolios 的線性組合（PCs）。因此，對于線性模型而言，其解釋性恰恰植根于我們熟悉的 regression 以及 portfolio sort 方法中。

而對于非線性模型而言，其可解釋性雖然不如線性模型那么直觀，但學術(shù)研究依然給予了它足夠的重視（見 fact 部分）。

Fact:?機器學習揭示的最重要預測變量和大量實證資產(chǎn)定價結(jié)果吻合。

Gu, Kelly and Xiu (2020) 使用 permutation importance 揭示了哪些協(xié)變量對解釋預期收益率最重要（下圖）。從中我們可以看出：（1）最重要的協(xié)變量和以往實證結(jié)果相吻合，其中最重要的變量大致可以分為四大類，即動量/反轉(zhuǎn)，流動性相關，風險相關（比如 IVOL）以及基本面相關；（2）不同的機器學習模型來說，最重要的協(xié)變量也在很大程度上是相似的。

Chen, Pelger and Zhu (forthcoming) 通過計算 SDF 權(quán)重對協(xié)變量的偏導數(shù)來評價模型的可解釋性。下圖顯示，在所有協(xié)變量中，最重要的可以被分為交易摩擦、價值、無形資產(chǎn)、盈利、投資以及歷史收益率幾大類。

另一篇值得一提的文章是 Kozak (2019)。它利用 kernel trick 巧妙地在不增加運算量的前提下將協(xié)變量映射到高維并對映射后的協(xié)變量進行 PCA，以此來進行資產(chǎn)定價。在使用了非線性 kernel 后，我們無從知道映射后的協(xié)變量是什么樣子。但是，通過將構(gòu)造的 SDF 映射到原始協(xié)變量的 managed portfolios，依然能夠鑒別出最重要的解釋變量。

最后，也可以通過觀察選出股票（多頭或者多空對沖組合）在不同協(xié)變量上是否有共性來判斷哪些變量更加重要，例如 Avramov, Cheng and Metzker (2023)。

3

Fiction:?復雜模型容易樣本內(nèi)過擬合，導致樣本外預測誤差加劇。

對于模型來說，其樣本外表現(xiàn)和模型復雜度關系密切。當模型復雜度很低時，模型的方差很小，但是偏差很高；當模型復雜度高時，模型的方差變大，但是偏差降低。二者的共同作用就是人們熟悉的 bias-variance trade-off，因此存在某個最優(yōu)的超參數(shù)，使得樣本外的總誤差（風險）最低。

我們還可以換個角度來理解 bias-variance trade-off。當模型很簡單時，它能夠有效規(guī)避過擬合，但并非是真實世界的很好近似；而當模型復雜時，它更有可能逼近真實世界，但是也的確更容易過擬合。因此 bias-variance trade-off 也可以理解為 approximation-overfit trade-off。

然而，上述結(jié)論有一個人們習以為常的前提：變量個數(shù) < 樣本個數(shù)。如果模型復雜到變量的個數(shù)超過了樣本的個數(shù)又會怎樣呢？事實上，這一問題并非無緣無故的憑空想象。對于復雜的神經(jīng)網(wǎng)絡模型來說，模型參數(shù)的個數(shù)很容易超過樣本的個數(shù)。當變量個數(shù) ≥ 樣本個數(shù)時（被稱為 over-parameterization），模型在樣本內(nèi)能夠完美的擬合全部樣本（當變量個數(shù)和樣本個數(shù)相等時，模型能夠完美的 fit 所以樣本點。這個現(xiàn)象在機器學習術(shù)語中被稱為 interpolation）。由于金融數(shù)據(jù)的信噪比極低，對于這樣一個妥妥樣本內(nèi)過擬合了噪聲的模型，人們通常的認知是，它在樣本外的預測誤差一定會“爆炸”。然而事實也許并非如此。

Fact:?復雜模型是真實 DGP 的更好近似，在正則化使用得當?shù)那疤嵯?，復雜模型帶來的好處可能優(yōu)于統(tǒng)計代價。

近年來，機器學習領域一個令人興奮的發(fā)現(xiàn)就是樣本外誤差隨模型復雜度變化的 double descent 現(xiàn)象。Belkin et al (2019) 指出，當模型復雜度突破樣本個數(shù)這個“禁忌之地”后，神奇的事情發(fā)生了：樣本外總誤差并沒有“爆炸”，而是隨著復雜度的提升單調(diào)下降。正因為在樣本個數(shù)兩側(cè)都出現(xiàn)了誤差單調(diào)下降的情況，這個現(xiàn)象被稱為 double descent。

這背后的直覺解釋是：當協(xié)變量個數(shù)超過樣本個數(shù)的時候，樣本內(nèi)的解是不唯一的，而最優(yōu)的解可以理解為讓參數(shù)的方差最小的那個解。隨著變量越來越多，最優(yōu)解的方差總能單調(diào)下降。再來看偏差，通常來說，偏差確實會隨著復雜度的提升而增加。但是所有模型都是真實 DGP 的某個 mis-specified 版本。當存在模型設定偏誤的時候，可以證明當變量個數(shù)超過樣本個數(shù)時，偏差也會在一定范圍內(nèi)隨著復雜度而下降。因此，二者的綜合結(jié)果就是模型在樣本外的誤差表現(xiàn)會隨復雜度的上升而下降。對于 double descent 現(xiàn)象背后的理論，感興趣的小伙伴請參考 Hastie et al. (2022)。

在實證資產(chǎn)定價方面， Kelly, Malamud and Zhou (forthcoming) 將上述理念應用到了美股擇時之中，并發(fā)現(xiàn)了類似的 double descent 現(xiàn)象：當采用協(xié)變量個數(shù)遠遠超過樣本個數(shù)的模型時，樣本外的夏普比率提升了。客觀的說，關于模型復雜度和樣本外表現(xiàn)的討論，在資產(chǎn)定價領域尚處于萌芽階段，且正則化（或者 implied 正則化）在這個過程中至關重要，期待未來在這方面有更多精彩的研究成果。

4

Fiction:?非線性模型可以輕松讓夏普比率翻倍。

我們先看一組似乎足以推翻這個 fiction 的實證結(jié)果。Baba-Yara, Boyer and Davis (2021) 復現(xiàn)了最近幾年最重要的機器學習模型，并將它們的結(jié)果和傳統(tǒng)的多因子模型進行了比較。我挑選了幾個有代表性的匯總于下表。

上述結(jié)果清晰的表明，相比于傳統(tǒng)多因子模型，機器學習模型的夏普比率確實是前者的兩倍甚至是三倍。但不要忘了，右邊這些都是強加了特設稀疏性的簡約模型（只用了太少的變量），因此這樣的比較是不公平的。（另外，在本節(jié) fact 部分我們還會再次討論上述結(jié)果，相信那時候你會更加確信。）另一方面，如果你仔細觀察就不難發(fā)現(xiàn)，在上面的結(jié)果中，KNS 的 PCA 以及 KPS 的 IPCA（這兩個非條件和條件線性模型）的夏普比率反而要高于另外兩個分別利用隨機森林和神經(jīng)網(wǎng)絡的模型。因此，非線性模型（至少在上述實證結(jié)果中）并沒有占得便宜。

Fact:?非線性模型能捕捉協(xié)變量和預期收益率之間的非線性關系，且現(xiàn)階段對表現(xiàn)只是提供邊際增量貢獻。

事到如今，我們無需懷疑協(xié)變量和預期收益率之間存在非線性關系。哪怕是傳統(tǒng)的 double portfolio sort，也是考察控制了變量 A 之后，變量 B 和預期收益率的關系。由 Nagel (2021) 以及大量最新實證資產(chǎn)定價論文的結(jié)果可知，在非線性關系中，變量的交互作用是最重要的。對于傳統(tǒng)線性回歸模型來說，一旦協(xié)變量數(shù)目激增，枚舉考慮兩兩變量的交乘項是不切實際的，因此這就給了善于處理非線性關系的機器學習模型施展的空間。

話雖如此，我們也應該對非線性關系對于預測收益率提供的增量貢獻有正確的預期。Chen, Pelger and Zhu (forthcoming) 的實證結(jié)果顯示，他們的生成對抗網(wǎng)絡在構(gòu)造 SDF 時能夠捕捉到協(xié)變量之間的交互作用，然而另一方面，他們也強調(diào)獨立協(xié)變量對于 SDF 的影響幾乎是線性的。

下面讓我們回到 fiction 部分提到的 Baba-Yara, Boyer and Davis (2021) 一文。上面的這個表來自該文的早期版本，其 OOS 實證區(qū)間是 1990 到 2020。然而，在最新的版本中，其 OOS 實證區(qū)間搖身一變縮短為 1990 到 2016。論文的版本更新了，而實證區(qū)間卻倒退了，實在令人不解。而更讓人匪夷所思的是，作者給出的解釋竟然是作為比較的 ad-hoc 模型 Stambaugh-Yuan 的數(shù)據(jù)只到 2016 年（你們在復現(xiàn)機器學習模型！拜托?。?。既然早期工作版本中能復現(xiàn)到 2020 年，為什么在新的版本中卻又以此為借口放棄了？真正的動機恐怕只有作者自己清楚。

在這個短一些的實證區(qū)間內(nèi)，實證結(jié)果如下（下表中括號內(nèi)數(shù)據(jù)是截至到 2020 年的結(jié)果，放在這里方便比較）。有意思的是，當實證區(qū)間的終點選為 2016 之后，四個機器學習模型都不同程度的變差了（BPZ 有些讓人意外），而四個 ad-hoc 模型卻都提升了（SY 發(fā)表在 2017，F(xiàn)F6 = FF5 + Carhart Mom 而 FF5 以及 HXZ 都發(fā)表在 2015，玄妙吧）。

Anyway，讓我們聚焦于機器學習模型。上述對比說明，隨著實證區(qū)間的不同，模型的結(jié)果也會有較大的波動。而另一方面，所有這些發(fā)表在頂刊上的論文，雖然它們都是使用 rolling 或者 expanding 窗口進行訓練和驗證，然后再預測樣本外的 next month、如此往復，但是這些文章并沒有對調(diào)參的過程以及不同參數(shù)下模型的穩(wěn)健性進行多少（if any!）的描述。從這個意義上說，機器學習應用于資產(chǎn)定價的研究生態(tài)還遠談不上完善（呼吁有大佬能站出來，提出學界認可的研究生態(tài)）。

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Fiction:?機器學習模型可以很容易地被應用于實踐。

雖然機器學習模型在實證資產(chǎn)定價的學術(shù)研究中取得了令人欣慰的結(jié)果，但并不意味著它們能夠被輕易的用于實踐，并獲得可觀的費后超額收益。這方面一個最重要的經(jīng)驗事實是，機器學習模型構(gòu)造的投資組合都有很高的換手率。

在這方面，Avramov, Cheng and Metzker (2023) 復現(xiàn)了 Gu, Kelly and Xiu (2020) 中的神經(jīng)網(wǎng)絡模型、CPZ 的 GAN、KPS 的 IPCA 以及 Gu, Kelly and Xiu (2021) 的（Conditional）Autoencoder (CA)。這些模型的月均換手率如下。作為對比，像 size 和 value 這種傳統(tǒng)低頻風格因子的月均換手率通常低于 10%（即 0.1）。通過對交易成本的估計，Avramov, Cheng and Metzker (2023) 指出，在如此高的換手率下，對于一般投資者（average investors）來說，很難通過機器學習模型賺取額外的超額收益（當然不排除有些投資者能夠很好的將這些模型工程化，并在高換手率的前提下依然獲得超額收益）。

為了應對交易成本帶來的挑戰(zhàn)，Jensen et al. (2022) 提出了 implementable efficient frontier 的概念，即在構(gòu)造策略的時候直接通過費后收益率進行評估，從而將帶有交易成本的投資組合優(yōu)化問題融入到機器學習的框架之中，并取得了不錯的結(jié)果。

Fact:?機器學習發(fā)現(xiàn)的可預測性部分集中于套利成本和交易成本高的股票，對一些機構(gòu)投資者價值有限。

實證結(jié)果表明，諸多異象的超額收益主要來自空頭（Avramov et al. 2013）或者微小市值股票（Novy-Marx and Velikov 2016）。而對于機器學習模型來說，它們也善于從套利和交易成本更高的股票中挖掘可預測性，因而削弱了它們的實踐價值。仍以 Avramov, Cheng and Metzker (2023) 的實證結(jié)果為例。除 full sample 外，該文還分別考察了剔除微小市值、剔除無 credit rating 公司以及剔除 financially distressed 公司的三個子樣本。結(jié)果（下表，表中括號內(nèi)為?t-statistics）顯示，和 full sample 相比，主流機器學習模型（IPCA 除外）在這三個子樣本中的表現(xiàn)均有明顯的下降，且一些模型較傳統(tǒng) ad-hoc 多因子模型（例如 FF6）的??在某些子樣本中也不再顯著。

以 GAN 為例，其在剔除微小市值子樣本中的月均收益率和 full sample 相比，降低了超過 50%。在上述四個模型中，除 IPCA 之外都是非線性模型，而唯有 IPCA 的結(jié)果比較穩(wěn)?。ㄔ?full 和幾個子樣本中的結(jié)果較為一致）。需要說明的是，上述針對三個子樣本的結(jié)果仍然是使用基于 full sample 訓練出的模型得到的。這也許會讓一些讀者頗有微詞。對于此，Avramov, Cheng and Metzker (2023) 進一步使用子樣本進行訓練和樣本外預測，但發(fā)現(xiàn)結(jié)果并沒有實質(zhì)的改變，而且在一些子樣本中 OOS 的表現(xiàn)還下降了。換句話說，原本打算通過約束讓模型學習目標樣本，然而結(jié)果卻是更少的樣本量（子樣本 vs full）卻導致了更差的 OOS 表現(xiàn)。成功 tweak 非線性模型使其聚焦于套利和交易成本低的股票，將會是機器學習模型落地的重要前提。

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以上從五方面的 facts and fictions 梳理了近幾年最重要的機器學習資產(chǎn)定價實證發(fā)現(xiàn)。

作為本文的結(jié)尾，我想最后強調(diào)的是，雖然這些論文的實證結(jié)果都是 OOS（即用歷史數(shù)據(jù)建模和調(diào)參，然后預測下一個 period），然而它們使用的協(xié)變量幾乎都是來自以往實證資產(chǎn)定價研究所挖出來的 anomaly。從這個意義上說，我不得不再拋出一直以來的觀點“所有歷史數(shù)據(jù)都是樣本內(nèi)”。

在協(xié)變量和收益率存在非線性關系，以及協(xié)變量都是在歷史上顯著的前提下，我們似乎不用對這些模型在 OOS 的優(yōu)越表現(xiàn)感到特別的意外。然而，另一個值得思考的問題是，如果以 agnostic 視角出發(fā)，將機器學習模型應用實證資產(chǎn)定價之中，又會有怎樣的結(jié)果？在這方面，Nagel (2021) 有過初步的嘗試，發(fā)現(xiàn)機器學習能夠從諸多變量中識別出和預期收益率相關的那些。

希望本文的梳理能幫助你對基于機器學習模型的實證資產(chǎn)定價研究形成正確的預期，在抱有期待的同時也客觀認識到研究的現(xiàn)狀和面臨的挑戰(zhàn)。最后，我想引用 Bryan Kelly 在某 Q&A 環(huán)節(jié)就機器學習正確預期的回答總結(jié)本文。作為學界新生代當仁不讓的扛把子之一以及 AQR 的 Head of Machine Learning，Kelly 的觀點值得認真體會。

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