作者：石川

摘要：隨機(jī)分析是近代金融數(shù)學(xué)發(fā)展的基礎(chǔ)。本文介紹布朗運(yùn)動(dòng)及其重要性質(zhì)并引出伊藤引理的最基本形式。

1 引言

對(duì)量化投資感興趣的人大概都聽說過的 Black-Scholes 期權(quán)定價(jià)公式（又稱 Black-Scholes-Merton 公式，下稱 BS 公式）。它大概是將數(shù)學(xué)中隨機(jī)過程（stochastic process）的概念運(yùn)用到實(shí)際金融產(chǎn)品中的最著名的一個(gè)例子。美國華爾街的 Quant 職位面試中更是無一例外的會(huì)問到 BS 公式及其引申出來的相關(guān)問題，足見其地位。然而黑天鵝之父納西姆·塔雷伯（Nassim Nicholas Taleb，以《黑天鵝效應(yīng)》一書聞名于世）卻對(duì)它嗤之以鼻，更是寫過一篇題為 Why we have never used the Black-Scholes-Merton option pricing formula（為什么我們從來不用BS期權(quán)定價(jià)公式）來抨擊它。

誠然，BS 公式在投資實(shí)踐中能夠起到多大的作用見仁見智。但我們想說的是，BS 公式僅僅是一結(jié)果，是隨機(jī)分析（stochastic calculus）經(jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶訉油蒲莸玫降漠a(chǎn)物。透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它背后蘊(yùn)含著強(qiáng)大的數(shù)學(xué)體系，使得我們可以運(yùn)用隨機(jī)過程對(duì)股價(jià)、期權(quán)價(jià)格以及其他衍生品價(jià)格進(jìn)行量化建模。掌握這套分析體系對(duì)于有志于在量化投資領(lǐng)域有所建樹的人來說十分必要。

想要摸清楚這套隨機(jī)分析體系并不容易。如果你在搜索引擎上查詢 BS 公式的推導(dǎo)體系，一定會(huì)看到諸如“布朗運(yùn)動(dòng)”、“伊藤引理”、“隨機(jī)微分方程”這些概念。它們都是這套分析體系中必不可少的組成部分，環(huán)環(huán)相扣，在隨機(jī)分析的大框架下完美的聯(lián)系在一起。熟悉這套分析框架的人可以充分的感受到這些基本模塊無縫的組合在一起所展示出來的數(shù)學(xué)的魅力。而對(duì)于不熟悉它的人來說，這之中每一個(gè)概念都可能仿佛天書一般；即便是具有高等數(shù)學(xué)知識(shí)的人，想要很快的梳理出它們之間的邏輯聯(lián)系也并不容易。

簡單的說，（標(biāo)準(zhǔn)）布朗運(yùn)動(dòng)是一種最簡單的連續(xù)隨機(jī)過程，它是描述證券價(jià)格隨機(jī)性的基本模型。而對(duì)于期權(quán)或其他衍生品這些金融工具，它們的價(jià)格是相關(guān)證券資產(chǎn)價(jià)格的函數(shù)。因此可以說證券價(jià)格是一個(gè)隨機(jī)過程，而衍生品價(jià)格是該隨機(jī)過程的函數(shù)。伊藤引理提供了對(duì)隨機(jī)過程的函數(shù)做微分的框架；這對(duì)于衍生品的定價(jià)意義非凡（在此之前，人們是不知道如何對(duì)隨機(jī)過程的函數(shù)做微分的）。通過伊藤引理，可以寫出金融衍生品價(jià)格的隨機(jī)微分方程，通過對(duì)其求解便可以得到衍生品價(jià)格的模型。BS 公式就是一個(gè)最簡單的例子。

鑒于隨機(jī)分析的重要性，我們決定用兩期的量化核武研究專題來介紹它。行文會(huì)力爭深入淺出，但也會(huì)包括必要的數(shù)學(xué)推導(dǎo)（這對(duì)理解相關(guān)概念至關(guān)重要）。作為前篇，本文介紹布朗運(yùn)動(dòng)及其重要性質(zhì)，同時(shí)指出使用幾何布朗運(yùn)動(dòng)描述股價(jià)的合理性，最后會(huì)引出伊藤引理的最基本形式。此外，為避免將本文寫成偏數(shù)學(xué)的技術(shù)性文章，文中也花了很多篇幅揭示布朗運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)對(duì)于股票投資的重要含義。下一篇會(huì)進(jìn)一步介紹伊藤引理的一般形式，并用它求解幾何布朗運(yùn)動(dòng)，最后推導(dǎo) BS 模型以及介紹 BS 公式（注：BS 模型是一個(gè)偏微分方程，而 BS 公式是一個(gè)解析形式的表達(dá)式）。希望通過這兩篇文章的介紹，讓感興趣的讀者直觀的理解這個(gè)分析框架，并且能夠感受到各個(gè)模塊無縫地組合到一起而最終得到一個(gè)優(yōu)雅的定價(jià)公式的數(shù)學(xué)之美。

2 布朗運(yùn)動(dòng)的發(fā)展和定義

1827 年英國植物學(xué)家羅伯特 ? 布朗（Robert Brown）在使用顯微鏡觀察水中花粉微粒運(yùn)動(dòng)時(shí)發(fā)現(xiàn)了微粒的無規(guī)則運(yùn)動(dòng)，但是當(dāng)時(shí)并不能從物理學(xué)角度上很好的解釋其成因。1905 年，愛因斯坦詳細(xì)解釋了布朗發(fā)現(xiàn)的這種運(yùn)動(dòng)：微粒的無規(guī)則運(yùn)動(dòng)是由水分子的撞擊形成的。從那以后，布朗運(yùn)動(dòng)在物理學(xué)上的發(fā)展日臻完善。相比之下，數(shù)學(xué)上對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)的描述發(fā)展的要慢一些。嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亩x并描述布朗運(yùn)動(dòng)由諾伯特 ? 維納（Norbert Wiener）在 1918 年提出，因此布朗運(yùn)動(dòng)（Brownian motion）又稱為維納過程（Wiener process）。

布朗運(yùn)動(dòng)是一個(gè)連續(xù)隨機(jī)過程。一個(gè)隨機(jī)過程是定義在時(shí)域或者空間域上的依次發(fā)生的一系列隨機(jī)變量的集合。以時(shí)域?yàn)槔绻@些隨機(jī)變量在整個(gè)實(shí)數(shù)時(shí)域上都有定義，那么這個(gè)隨機(jī)過程為連續(xù)隨機(jī)過程；反之，如果這些隨機(jī)變量僅僅在時(shí)域上一些離散的點(diǎn)有定義，那么該隨機(jī)過程為離散隨機(jī)過程。

上面兩張圖分別為二維空間內(nèi)和時(shí)域上的（一維）布朗運(yùn)動(dòng)軌跡。時(shí)域上的這個(gè)一維布朗運(yùn)動(dòng)走勢和股票價(jià)格曲線的走勢看著非常相似，這便引起了人們利用它來描述股票價(jià)格走勢的興趣。事實(shí)上，早在 1900 年一個(gè)名叫路易斯 ? 巴舍利耶（Louis Bachelier）的法國小伙就在他的博士論文《投機(jī)理論》（Théorie de la spéculation）中使用布朗運(yùn)動(dòng)分析股票和期權(quán)的價(jià)格。說幾句題外話，這個(gè)法國小伙的研究比愛因斯坦給出布朗運(yùn)動(dòng)的物理解釋還要早 5 年！比維納提出布朗運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)定義更是早了 18 年！據(jù)說由于他把數(shù)學(xué)應(yīng)用到了在當(dāng)時(shí)比較未知的領(lǐng)域——股票研究——他在答辯時(shí)的反響并不好。但是現(xiàn)在看來，這個(gè)小伙才是研究金融數(shù)學(xué)的先驅(qū)！

下文會(huì)進(jìn)一步解釋為什么使用布朗運(yùn)動(dòng)來描述股價(jià)運(yùn)動(dòng)是合適的?，F(xiàn)在，首先給出（一維）標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)（即維納過程）的定義。如果一個(gè)定義在非負(fù)實(shí)數(shù)（時(shí)域）t 上的連續(xù)隨機(jī)過程 ｛B(t), t ≥ 0｝ 滿足如下三個(gè)性質(zhì)：

1. B(0) = 0；

2.?平穩(wěn)性：對(duì)于所有的 0 < s < t，增量 B(t) – B(s) 符合均值為 0，方差為 t - s 的正態(tài)分布；

3.?獨(dú)立增量性：對(duì)于不重疊的區(qū)間 [s_i, t_i]，隨機(jī)變量 B(t_i) – B(s_i) 之間是相互獨(dú)立的；

則 B(t) 是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動(dòng)。

該定義的白話解釋是：標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)在 t = 0 時(shí)的位置為 0。在任何有限時(shí)間區(qū)間 Δt 內(nèi)，布朗運(yùn)動(dòng)的變化滿足均值為 0 方差為 Δt 的正態(tài)分布 N(0, Δt)，其方差隨時(shí)間區(qū)間的長度線性增加。獨(dú)立增量性的意思是布朗運(yùn)動(dòng)在任何一個(gè)時(shí)間區(qū)間內(nèi)的變化與其他與之不重疊的時(shí)間區(qū)間內(nèi)的變化無關(guān)。由該性質(zhì)可知，布朗運(yùn)動(dòng)是一個(gè)馬爾科夫過程（Markov process），即該過程在任意 t 時(shí)刻之后的位置僅和 t 時(shí)刻的位置有關(guān)，與 t 之前的歷史軌跡無關(guān)。換句話說，該過程的當(dāng)前值就包含了對(duì)其未來做預(yù)測所需的全部信息。

3 布朗運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)

標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)有很多有意思的性質(zhì)，它們對(duì)于使用布朗運(yùn)動(dòng)及其變化來描述股票價(jià)格有非常重要的含義。這些性質(zhì)包括：

1. 它的軌跡會(huì)頻繁的穿越時(shí)間軸 t（在時(shí)間軸上下往復(fù)波動(dòng)）；

2. 在任意時(shí)刻 t，它的位置 B(t) 不會(huì)偏離正負(fù)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差太遠(yuǎn)；

3. 令 M(t) 為 0 到 t 時(shí)刻內(nèi)的布朗運(yùn)動(dòng) B(t) 所能到達(dá)的最大值，即 M(t) = max_｛0≤s≤t｝B(t)，則“ M(t) 不小于任意給定閾值 a 的概率”等于“ B(t) 不小于任意給定閾值 a 的概率的兩倍”，即 Prob(M(t) ≥ a) = 2Prob(B(t) ≥ a)；

4. 布朗運(yùn)動(dòng)雖然連續(xù)，但是它處處不可微分（這是非常關(guān)鍵的一個(gè)性質(zhì)）。

首先來解釋前兩個(gè)性質(zhì)。下圖給出了 0 到 t 時(shí)刻內(nèi) 15 條標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的樣本軌跡。盡管它們呈現(xiàn)出各自的隨機(jī)性，但基本上每條軌跡都往復(fù)的穿越 y=0 這條線（即時(shí)間軸 t），僅有個(gè)別的樣本軌跡在 y=0 的單邊震蕩（對(duì)于這些軌跡，隨著 t 的增加，它們也一定會(huì)穿越 t 軸的）。此外，黑色的拋物線是方程 t=y^2 的曲線。可以看到，雖然每條樣本軌跡都有足夠的隨機(jī)性，但是在 t 時(shí)刻，它們都不會(huì)偏離這條拋物線上的點(diǎn) B(0) ± 根號(hào) t 太遠(yuǎn)。下圖右側(cè)是 t 時(shí)刻均值為 0 方差為 t 的正態(tài)分布的概率密度函數(shù)。這條拋物線的范圍對(duì)應(yīng)的就是該正態(tài)分布正負(fù)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)的變化。

假設(shè)我們使用布朗運(yùn)動(dòng)來描述股價(jià)日內(nèi)的高頻走勢（下文會(huì)說明更加準(zhǔn)確的描述股價(jià)的模型是帶漂移項(xiàng)的幾何布朗運(yùn)動(dòng)，但在此作為一個(gè)簡單的例子，假設(shè)使用布朗運(yùn)動(dòng)來描述股價(jià)），這兩個(gè)性質(zhì)意味著股價(jià)很大概率會(huì)在開盤價(jià)上下波動(dòng)，而非一直維持在開盤價(jià)上方或者下方；此外，隨著交易時(shí)間的推移，在t時(shí)刻股票的價(jià)格不會(huì)偏離“開盤價(jià) ± 根號(hào) t × 價(jià)格波動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)差”太遠(yuǎn)。這些性質(zhì)對(duì)于想根據(jù)日內(nèi)高頻數(shù)據(jù)進(jìn)行投機(jī)操作的人非常重要。之前的文章《錯(cuò)過開盤，不一定是“過錯(cuò)”》也對(duì)此有一些實(shí)證，它指出日內(nèi)股價(jià)在很大概率上會(huì)再次到達(dá)開盤區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)的價(jià)格，而非單邊震蕩。

第三條性質(zhì)給出了量化 t 時(shí)刻內(nèi)布朗運(yùn)動(dòng)極值的概率模型。由于 B(t) 是滿足均值為 0 方差為 t 的正態(tài)分布，因此 Prob(M(t) ≥ a) = 2Prob(B(t) ≥ a) 這個(gè)結(jié)果可以讓我們非常容易的求出 Prob(M(t) ≥ a) 的概率，即

其中 Φ 是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積分布函數(shù)。上式可以通過布朗運(yùn)動(dòng)的馬爾科夫性和反射性證明，在這里不在贅述。同樣的，如果令 m(t) 為 0 到 t 時(shí)刻內(nèi)的布朗運(yùn)動(dòng) B(t) 所能到達(dá)的最小值，即 m(t) = min_｛0≤s≤t｝B(t)，則再次利用反射性不難推導(dǎo)出 B(t) 的最小值低于給定閾值 a 的概率：

?

如果用布朗運(yùn)動(dòng)來描述股價(jià)，那么上述結(jié)果可以量化股價(jià)極值的概率分布。這對(duì)風(fēng)控以及在買賣股票時(shí)計(jì)算合理的限價(jià)單價(jià)格都是很有幫助的。

最后一個(gè)性質(zhì)是布朗運(yùn)動(dòng)作為隨機(jī)過程的一個(gè)至關(guān)重要的性質(zhì)，即它雖然連續(xù)，但是它處處不可微分（這一點(diǎn)可以通過利用中值定理以及性質(zhì)三的結(jié)論，使用反證法來證明）。這從直觀上非常好理解。再來看看上面那 15 條布朗運(yùn)動(dòng)的樣本軌跡，每一條都一直在上下波動(dòng)、充分地展示了其隨機(jī)性。顯然，布朗運(yùn)動(dòng)的軌跡和我們熟悉的任何連續(xù)、平滑的方程軌跡完全不同。不可微分性意味著古典微積分（classical calculus）中的分析手段在布朗運(yùn)動(dòng)面前黯然失效。這在當(dāng)時(shí)無疑是個(gè)令人沮喪的消息。因?yàn)槿藗兒貌蝗菀渍业搅艘粋€(gè)簡單實(shí)用的隨機(jī)過程，但卻缺少進(jìn)一步研究它的手段。然而，這一切都隨著伊藤微積分（Itō calculus）的出現(xiàn)而迎刃而解。毫不夸張的說，伊藤微積分奠定了現(xiàn)代金融數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。

4 二次變分

考慮時(shí)間區(qū)間 [0, T] 和該區(qū)間內(nèi)的一個(gè)劃分 Π = ｛0 = t_0 < t_1 < t_2 < … < t_N = T｝，則對(duì)于任意一個(gè)連續(xù)函數(shù) f(t)，它的二次變分（quadratic variation）定義為：

對(duì)于一個(gè)連續(xù)且在 0 到 T 內(nèi)處處可微的函數(shù) f(t)，通過利用古典微積分中的中值定理很容易得到如下不等式：

這說明隨著對(duì)時(shí)間區(qū)間 [0, T] 越來越細(xì)的劃分，即 max_i｛t_[i+1] - t_i｝趨于0，這個(gè)連續(xù)且處處可微的函數(shù) f(t) 的二次變分為 0。那么，如果將 f(t) 換為布朗運(yùn)動(dòng) B(t) 會(huì)怎樣呢？不要忘了，它雖然連續(xù)，但是處處不可微。關(guān)于 B(t) 的二次變分有如下定理：隨著對(duì)時(shí)間區(qū)間 [0, T] 越來越細(xì)的劃分，即 max_i｛t_[i+1] - t_i｝趨于0，B(t) 的二次變分等于 T，即

其中 |Π| = max_i｛t_[i+1] - t_i｝。

布朗運(yùn)動(dòng)的這個(gè)性質(zhì)可以通過獨(dú)立同分布隨機(jī)變量的大數(shù)定理證明。對(duì)它的白話說明是，作為一個(gè)隨機(jī)過程，布朗運(yùn)動(dòng)的二次變分是 T 而不是 0（與之相對(duì)應(yīng)的是，連續(xù)可微函數(shù)的二次變分為 0）。如何理解它呢？考慮下面這個(gè)示意圖。其中藍(lán)色曲線為布朗運(yùn)動(dòng)的軌跡，紅點(diǎn)為時(shí)間劃分點(diǎn)對(duì)應(yīng)的該軌跡的位移。顯然，(B(t_[i+1]) – B(t_i))^2 為任意相鄰兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)的位移差的平方。二次變分就是這些逐段位移差的累積平方和。

對(duì)于一個(gè)普通的連續(xù)可微函數(shù)，隨著對(duì)區(qū)間T越來越細(xì)的劃分，它的二次變分趨于 0。然而對(duì)于布朗運(yùn)動(dòng)，其非 0 的二次變分說明隨機(jī)性使得它的波動(dòng)太頻繁，以至于不管我們?nèi)绾渭?xì)分區(qū)間 T、得到多么微小的劃分區(qū)間，這些微小區(qū)間上的位移差的平方逐段累加起來的總和都不會(huì)消失（即二次變分不為 0），而是等于這個(gè)區(qū)間的長度 T。這是布朗運(yùn)動(dòng)的一個(gè)非常重要的性質(zhì)。布朗運(yùn)動(dòng)的二次變分公式也可以寫作如下所示的無窮小量（infinitesimal difference）的形式：

碼了這么多的字來解釋二次變分，當(dāng)然不是為了用它說明布朗運(yùn)動(dòng)的波動(dòng)太頻繁；在本文第六節(jié)可以看到，二次變分在推導(dǎo)伊藤引理時(shí)有非常重要的意義。

5 幾何布朗運(yùn)動(dòng)

前文介紹了標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，它在任意長度為 t 內(nèi)的分布是均值為 0 方差為 t 的正態(tài)分布?，F(xiàn)在，考慮給標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)加上一個(gè)僅和時(shí)間 t 有關(guān)的漂移項(xiàng) μt，以及一個(gè)尺度參數(shù) σ，便得到一個(gè)帶漂移的布朗運(yùn)動(dòng)（Brownian motion with drift），記作 X(t) = μt + σB(t)。它在任意長度 t 內(nèi)的分布滿足均值為 μt，方差為 (σ^2)t 的正態(tài)分布?？紤]無窮小量的形式，上式寫作

這是一個(gè)隨機(jī)微分方程（stochastic differential equation）。隨機(jī)微分方程是普通微分方程的延伸，不同之處在于前者之中至少包括一項(xiàng)隨機(jī)過程。注意，上式與布朗運(yùn)動(dòng)不可微并不矛盾。雖然 B(t) 處處不可微，但是 dB(t) 仍有明確的含義，它表示布朗運(yùn)動(dòng)在一個(gè)無窮小的時(shí)間間隔內(nèi)的變化。

即便是有了帶漂移項(xiàng)和尺度參數(shù)的布朗運(yùn)動(dòng) X(t)，它仍然不是描述股價(jià)運(yùn)動(dòng)的最佳選擇。這是因?yàn)?X(t)，或者 B(t)，的取值隨著時(shí)間 t 的變化可以是負(fù)數(shù)，但是股票的價(jià)格顯然不能是負(fù)數(shù)。股價(jià)雖然不能是負(fù)數(shù)，但是股票的收益率卻有正有負(fù)，因此 X(t) 可以被用來描述收益率。

假設(shè) S(t) 為股票的價(jià)格，則 dS(t) 為股價(jià)在無窮小的時(shí)間間隔內(nèi)的變化量，而 dS(t)/S(t) 就是這段間隔內(nèi)的收益率，因此有

因此 S(t) 的隨機(jī)微分方程為：

滿足上述隨機(jī)微分方程的股價(jià) S(t) 是一個(gè)幾何布朗運(yùn)動(dòng)。人們喜歡使用幾何布朗運(yùn)動(dòng)來描述股價(jià)的原因是：

1. 正態(tài)分布：經(jīng)驗(yàn)事實(shí)證明，股票價(jià)格的連續(xù)復(fù)利收益率近似地服從正態(tài)分布；

2. 馬爾科夫過程：由布朗運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)可知，服從上述模型的股票價(jià)格是一個(gè)馬爾科夫過程，即當(dāng)前價(jià)格就包含了對(duì)其未來做預(yù)測所需的全部信息，這與弱有效市場假說相符；

3. 布朗運(yùn)動(dòng)在時(shí)間上處處不可微以及二次變分不為零的性質(zhì)符合股票收益率在時(shí)間上存在轉(zhuǎn)折尖點(diǎn)的特征。

當(dāng)然，為了使用 S(t) 對(duì)股價(jià)進(jìn)行分析，必須能夠求解上述隨機(jī)微分方程。這需要用到伊藤微積分中的相關(guān)內(nèi)容。因此關(guān)于 S(t) 的求解將會(huì)在本系列的后篇中具體介紹。

在結(jié)束本節(jié)之前，再來看一個(gè)關(guān)于帶漂移項(xiàng)的布朗運(yùn)動(dòng)的有意思的例子?？紤]一個(gè)正實(shí)數(shù) μ，令 X(t) = μt + B(t)。由于 B(t) 的期望為 0，因此 X(t) 的期望為 E[X(t)] = μt。我們好奇的是，隨著時(shí)間 t 的推移，X(t) 的取值到底是由 μt 主宰還是由 B(t) 主宰。事實(shí)上，可以證明，X(t) 的取值是由 μt 支配。對(duì)于任何給定的 ε，只要時(shí)間 t 足夠長，那么可以證明 X(t) 總會(huì)在 y = (μ – ε)t ?和 y = (μ + ε)t ?之間！怎么樣？有沒有從這個(gè)例子中受到什么啟發(fā)？它說明，如果我們堅(jiān)信股市長期來看有慢牛行情（μ > 0），那么我們就應(yīng)該欣然的接受它的任何（短期）波動(dòng)而堅(jiān)持持股（即忽略 B(t) 的隨機(jī)性造成的擾動(dòng)）。因?yàn)殚L期來看股價(jià)的變化是由 μt 決定的。我猜巴菲特一定是個(gè)數(shù)學(xué)家，他一定深諳此道，且通過其價(jià)值投資體系使得他的投資組合有著比美股指數(shù)更高的 μ，因此獲得了長期穩(wěn)定的超額收益。

6 伊藤引理

布朗運(yùn)動(dòng)為人們研究股票價(jià)格提供了基礎(chǔ)。然而，對(duì)于金融衍生品，它們的價(jià)格是股票價(jià)格的函數(shù)。令 f(B_t) 為布朗運(yùn)動(dòng) B_t 的連續(xù)平滑函數(shù)，在金融數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)重要的分析課題是研究在無窮小的時(shí)間區(qū)間內(nèi) f 是如何變化的，即 df 的性質(zhì)。由下文可知，由于布朗運(yùn)動(dòng)是不可微的，古典微積分對(duì)于求解 df 無能為力，而日本數(shù)學(xué)家伊藤清（Itō Kiyoshi）提出了與古典微積分不同的伊藤微積分打開了解決這個(gè)問題的大門，并為隨機(jī)分析奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

讓我們首先來看看古典微積分是如何失效的。為求 df（f 是布朗運(yùn)動(dòng) B_t 的連續(xù)平滑函數(shù)），應(yīng)用古典微積分中的鏈?zhǔn)椒▌t（chain rule）可得：

由于布朗運(yùn)動(dòng) B_t 處處不可微，因此導(dǎo)數(shù) dB_t/dt 不存在，所以上式?jīng)]有意義。第一次嘗試失敗。那么我們能不能繞過 dB_t/dt 呢，而僅僅使用 dB_t 呢？前文已經(jīng)指出 dB_t 有明確的含義，它表示布朗運(yùn)動(dòng)在一個(gè)無窮小的時(shí)間間隔內(nèi)的變化。因此我們有：

在這個(gè)表達(dá)式下，f’(B_t) 是可求的（因?yàn)?f 是一個(gè)連續(xù)平滑函數(shù)），而 dB_t 也是可求的?？此莆覀兝@過了 B_t 處處不可微的問題。不幸的是，上面這個(gè)等式是不成立的。第二次嘗試依然以失敗收?qǐng)觥?/strong>來看看上面這個(gè)式子為什么是錯(cuò)的。不要忘了，它實(shí)際上來自泰勒展開（Taylor expansion）?？紤]一個(gè)一般函數(shù) f(x) 的泰勒展開：

事實(shí)上，對(duì)于一般的函數(shù)，由泰勒展開確實(shí)有 df = f’(x)dx，這是因?yàn)楫?dāng) Δx 趨近于 0 時(shí)，上式右側(cè)中除了第一項(xiàng) f’(x) Δx 外，其他所有項(xiàng)相當(dāng)于第一項(xiàng)都是高階小量、可以被忽略，因此上式的無窮小量的形式就是 df = f’(x)dx。但是，當(dāng) x = B_t 時(shí)，這個(gè)性質(zhì)并不成立。將 x 替換為 B_t 代入上式：

顯然，在上式右側(cè)中，第一項(xiàng) f’(B_t)ΔB_t 是重要的。那么其他項(xiàng)相對(duì)它來說可以忽略嗎？你也許已經(jīng)猜到答案了：二次變分 (dB)^2 = dt！因?yàn)椴祭蔬\(yùn)動(dòng)的二次變分非 0，因此上式右側(cè)的第二項(xiàng)相對(duì)于第一項(xiàng)不是更高階的小量，而是同階的，因此它不能被略去（從第三項(xiàng)之后仍然是相對(duì)前兩項(xiàng)的高階小量，可以被忽略）。在無窮小量形式下忽略掉右側(cè)第三項(xiàng)開始之后的所有項(xiàng)，并利用 (dB)^2 = dt，我們得到伊藤引理（Itō's lemma）的最基本形式：

它也是伊藤微積分中的基本關(guān)系式。更一般的，如果一個(gè)平滑函數(shù) f 是時(shí)間 t 和某標(biāo)量 x 的函數(shù)，由古典微積分可知：

如果 x 為布朗運(yùn)動(dòng) B_t，則由伊藤微積分有：

可見，布朗運(yùn)動(dòng)的二次變分造成求解 df 時(shí)，必須在古典微積分的基礎(chǔ)上考慮一個(gè)額外項(xiàng)。它就是 f 對(duì)標(biāo)量項(xiàng)（這里，標(biāo)量是 B_t 的取值）的二階導(dǎo)數(shù)（如果 f 僅僅是 B_t 的函數(shù)）或者二階偏導(dǎo)數(shù)（如果 f 即是 B_t 的函數(shù)又是 t 的函數(shù)）。這個(gè)結(jié)論，現(xiàn)在看來“不怎么起眼”，但是它改變了一切，它使人們可以將微積分運(yùn)用到隨機(jī)過程中。我們會(huì)在本系列后篇中從伊藤引理出發(fā)繼續(xù)闡述如何求解幾何布朗運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)微分方程以及如何推導(dǎo)出 BS 期權(quán)定價(jià)公式。

7 小結(jié)

首先恭喜你看到這里……隨機(jī)分析絕不是一個(gè)令人愉悅的課題；這篇文章也比我想象的寫起來更加耗時(shí)，原因是我想盡可能把復(fù)雜的概念簡單的說清楚，并把數(shù)學(xué)模型和股票波動(dòng)聯(lián)系起來。讓我們來簡單總結(jié)一下本文都說了點(diǎn)啥。

布朗運(yùn)動(dòng)是一個(gè)用來描述股價(jià)走勢的有效模型。它的馬爾科夫性符合弱有效市場假說。通過反射性，很容易計(jì)算出布朗運(yùn)動(dòng)在一段時(shí)間內(nèi)能夠到達(dá)的極值的概率分布，這對(duì)于投資中的風(fēng)控至關(guān)重要。進(jìn)一步的，幾何布朗運(yùn)動(dòng)可以作為對(duì)股價(jià)建模的更精確的模型。從長期來看，幾何布朗運(yùn)動(dòng)的走勢由漂移項(xiàng)控制，這意味著對(duì)于慢牛的市場我們要做的是堅(jiān)定價(jià)值投資、長期持股、忽視股價(jià)短期由隨機(jī)游走帶來的波動(dòng)。

另一方面，布朗運(yùn)動(dòng)雖然連續(xù)，但是它處處不可微，這和股價(jià)的劇烈波動(dòng)上躥下跳給人的感受是一致的。在金融數(shù)學(xué)中，很重要的課題是分析隨機(jī)過程的函數(shù)（比如衍生品的價(jià)格是股票價(jià)格的函數(shù)）在無窮小的時(shí)間區(qū)間內(nèi)如何變化，但布朗運(yùn)動(dòng)的不可微性和二次變分使得古典微積分對(duì)它無能為力。日本數(shù)學(xué)家伊藤清提出了古典微積分的變種 —— 伊藤微積分，它考慮了布朗運(yùn)動(dòng)的二次變分，從而提供了使用微積分的手段分析隨機(jī)過程及其函數(shù)的框架，奠定了現(xiàn)代金融數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。

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