作者：石川

摘要：風險三要素公式為解釋投資組合的風險提供了清晰的框架。

1 引言

之前的文章《α 的三要素》講了主動投資管理中組成超額收益的三個成分。誠然，獲得超額收益是主動管理的目標，但在這個過程中，對風險的控制不亞于對收益的追求。在被動投資中，由于僅僅買入市場組合，風險就是市場的系統(tǒng)性風險。在主動管理中，基金經(jīng)理通過配置得到了不同于市場的投資組合，因此該組合的風險也不同于市場風險。一個優(yōu)秀的基金經(jīng)理必須十分清楚其投資組合風險的組成部分。

《α 的三要素》給出了一個優(yōu)雅的式子：α = Volatility × IC × Score。無獨有偶，關(guān)于主動管理中投資組合的風險（用投資組合收益率的標準差 σ 來衡量），同樣存在一個類似的表達式，即

為了有助于下文的討論，假設一個基金經(jīng)理構(gòu)建了一個主動管理的投資組合 P（該組合由不同的股票以某種權(quán)重構(gòu)成），令 R 代表這個投資組合的收益率。在構(gòu)建 P 時，基金經(jīng)理通過將投資組合以特定的風險暴露（exposure）置于不同的收益源（sources of return）之中得到，因此投資組合的收益率R可以分解為：

其中 x_m?是投資組合 P 在收益源 m 上的暴露，r_m?是收益源 m 的收益率。舉個例子，假設一個基金經(jīng)理以 0.3 的暴露買入行業(yè)一并以 0.6 的暴露買入行業(yè)二，以此構(gòu)建了投資組合。在本例中，銀行和國防軍工兩個行業(yè)的收益率就是兩個收益源的收益，而 0.3 和 0.6 就是該投資組合在這兩個收益源上的暴露，即

基于投資組合收益率的分解模型（1），我們下面探討投資組合的風險 σ(R)。首先來看兩個傳統(tǒng)的研究方法。

2 計算 σ(R) 的兩個傳統(tǒng)方法

第一種方法是獨立考慮每個收益源對投資組合的風險貢獻。對于收益源 m，它對投資組合收益率R的風險貢獻為 σ(x_m r_m)，即我們計算收益源收益率 r_m?自身的風險，再把它按比例折算到投資組合收益率的風險中。這種做法雖然直觀，但是它沒有考慮收益源與投資組合之間的相關(guān)性（顯然，收益源與投資組合的相關(guān)性越高，它對投資組合的風險貢獻度越大）。此外收益源各自獨立的風險加在一起不等于投資組合的風險，即

這導致投資組合的風險中無法被收益源的獨立風險之和解釋。第二種方法是考慮每種收益源對投資組合風險的邊際貢獻（marginal contribution），它由如下的偏導數(shù)定義：

在這種解釋下，投資組合對收益源m的風險暴露每增加一個 Δx_m?單位，投資組合的風險 σ(R) 便增加 MCR_mΔx_m?個單位。不難證明，投資組合的風險等于所有收益源的邊際風險貢獻之和（我們會在下文介紹 σ 的三要素時給出這個式子的推導）：

基于邊際風險貢獻這個方法的最大好處正如上式所示：投資組合的風險可以完全的被邊際風險解釋。然而，它的缺點是人們很難從業(yè)務層面理解偏導數(shù)：每個收益源到底對投資組合的風險有多少貢獻？這和偏導數(shù)又有什么關(guān)系？諸如此類的問題很難直觀的回答。

3 σ 的三要素

由于上述兩種傳統(tǒng)方法在解釋投資組合的風險 σ(R) 都不盡如人意，Davis and Menchero (2010) 提出了投資組合風險的三要素，即?σ = Exposure?×?Volatility?×?Correlation。該公式的數(shù)學表達為：

三要素的解釋如下：

由上述說明可知，風險三要素公式（2）的含義是：如果收益源收益率和投資組合收益率的相關(guān)性越高、收益源收益率自身的波動越大、投資組合在該收益源上的暴露越大，那么該收益源對投資組合的風險的貢獻就越高。此外，投資組合的風險 σ(R) 可以完全被所有收益源的風險 σ(r_m) 按上式分解。

風險三要素公式的正確性由下面的證明給出：

上面的推導中僅僅用到了協(xié)方差公式的定義，以及協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)之間的關(guān)系。

4 優(yōu)于傳統(tǒng)解釋

在解釋投資組合的風險時，三要素公式較第二節(jié)中的兩種傳統(tǒng)解釋有明顯的優(yōu)勢。第一種方法將收益源與投資組合隔絕開來，不考慮收益源與投資組合的相關(guān)性，也不考慮收益源之間的相關(guān)性，無法正確的解釋收益源對 σ(R) 的貢獻。另一方面，對比第二種方法中 σ(R) 的計算公式以及三要素公式（2）易知 MCR_m?= σ(r_m)ρ(r_m, R)。這可以由如下推導驗證：

兩邊同時對 x_m?求偏導數(shù)并利用鏈式法則以及協(xié)方差公式的定義有：

可見，收益源 m 的邊際風險貢獻 MCR_m?等于其自身的波動 σ(r_m) 乘以它和投資組合收益率的相關(guān)系數(shù) ρ(r_m, R)。顯然，比起偏導數(shù)的解釋，σ(r_m) 與 ρ(r_m, R) 乘積的解釋要更加清晰。此外，這種對 MCR_m?的分解可以為基金經(jīng)理提供更好的判斷。

舉個例子，假設兩個收益源的邊際風險貢獻都是 1%（且投資組合對這兩個收益源的暴露相同）?；贛CR的解釋方法無法區(qū)分它們。進一步假設第一個收益源自身的波動為 10%，它與投資組合的相關(guān)系數(shù)為 0.1（10%×0.1 = 1%）；第二個收益源自身的波動為 2%，它與投資組合的相關(guān)系數(shù)為 0.5（2%×0.5 = 1%）。MCR_m?= σ(r_m)ρ(r_m, R) 說明，雖然 MCR_m?相同，但是收益源 1 自身有更大的波動。這雖然并不意味著收益源 1 更加危險（因為這兩個收益源的邊際風險貢獻相同），但是不要忘記，所有的這些參數(shù)都是根據(jù)歷史數(shù)據(jù)估計得到的。由于收益率自身的波動比收益率之間的協(xié)方差更容易估計，因此收益源 1 對投資組合的風險的影響很有可能比收益源 2 更大。此外，如果基金經(jīng)理想要排除他的投資組合對這兩個收益源中某一個的暴露，那么僅僅依靠 MCR_m?是不夠的，σ(r_m) 與 ρ(r_m, R) 顯然為他提供了更多的依據(jù)。

5 從風險角度看收益相關(guān)性

風險三要素公式說明，收益源和投資組合的相關(guān)性對風險貢獻至關(guān)重要。收益源和投資組合的相關(guān)性又和收益源之間的相關(guān)性有著千絲萬縷的聯(lián)系。通常情況下，用來構(gòu)建投資組合的收益源之間或多或少存在相關(guān)性（可以是正相關(guān)也可以是負相關(guān)）。比如，如果銀行行業(yè)和低 β 是兩個收益源，那么它們之間顯然存在一定的正相關(guān)性。兩個收益源 m 和 n 的收益率之間的相關(guān)性可以由它們的相關(guān)系數(shù) ρ(r_m, r_n) 表示。風險三素公式為解讀 ρ(r_m, R) 和 ρ(r_m, r_n) 的關(guān)系提供了全新的思路。首先給出數(shù)學推導：

此公式說明任何一個收益源 m 和投資組合的相關(guān)性 ρ(r_m, R) 相當于 rm?與所有收益源?rn?的相關(guān)性 ρ(r_m, r_n) 以權(quán)重 x_n(σ(r_n)/ σ(R)) 的加和。收益源 n 對 ρ(r_m, r_n) 的貢獻度取決于投資組合對收益源n的暴露程度 x_n，收益源 n 對于投資組合的相對波動率 σ(r_n)/ σ(R)，以及收益源 n 與 m 之間的相關(guān)性 ρ(r_m, r_n)。只有當

1、x_n?足夠大；

2、r_n?的波動與 R 的波動有可比性；

3、r_n?與 r_m?足夠相關(guān)

三個條件同時滿足時，收益源 n 才足以影響到收益源 m 與投資組合的相關(guān)性。通過比較不同收益源的 x_n(σ(r_n)/σ(R))ρ(r_m, r_n)，就可以方便的判斷哪個收益源 n 對 ρ(r_m, R) 貢獻最大。這可以為基金經(jīng)理控制投資組合的風險提供新的思路。

在理想情況下，如果投資組合的收益可以完全被若干個收益源解釋，且這些收益源之間都是無關(guān)的（uncorrelated），即對于不同 m 和 n 有 ρ(r_m, r_n) = 0，在這種情況下（并且由定義有 ρ(r_m, r_m) = 1），上式簡化為

乍一看，這似乎與三要素公式（2）矛盾（因為（2）里面用到所有收益源的求和，且 ρ(r_m, R) 不是分母）。但簡單的計算加上運用最小二乘法回歸的性質(zhì)不難驗證上式與（2）是完全一致的。將上式兩邊同時乘以 ρ(r_m, R) 的平方得到：

上式對所有收益源 m 都成立。將對應所有收益源 m 的上式相加，經(jīng)過簡單的推導便可以得到風險三要素公式：

在上面的推導中，Σ_m ρ(r_m, R)^2?= 1 是利用到了多元線性回歸中 coefficient of determination（就是我們回歸中常說的 R-squared 或 R^2）的性質(zhì)。由于我們假設投資組合的收益率完全由這些收益源解釋，因此 R^2?= 1；又因為我們假設了所有的收益源都是不相關(guān)的，即 ρ(r_m, r_n) = 0，在這種情況下 R^2?等于投資組合收益率與每一個風險源收益率的相關(guān)系數(shù)的平方和。因此有 1 = R^2?= Σ_m ρ(r_m, R)^2。

6 三要素公式在風險多因子模型中的應用

在一個風險多因子模型中，個股的收益率（刨除無風險收益率后）r_n?往往被寫成若干個風險因子的收益率和其自身的特異性收益率的組合（這些風險因子和股票的特異性便對應上文中的收益源）：

其中 X_{nk} 是股票 n 在因子 k 上的暴露，f_k?是因子收益率，u_n?是股票 n 的特異性收益率。所有股票相對無風險的超額收益都可以用上式表示。如果按照一定的權(quán)重 w_n?將股票組合成一個投資組合，那么該投資組合的收益率也可以由這些風險因子收益率和所有股票的特異性收益率表示：

對上式直接運用風險三要素公式便可方便的求出投資組合的風險的組成：

投資組合的風險由因子模型的系統(tǒng)性風險和個股特異性風險兩部分組成。個股特異性風險源于個股的特異性收益 u_n，它是風險因子無法解釋的那部分收益。使用風險多因子模型時，為了正確計算投資組合的風險，上面兩個組成部分缺一不可。

參考文獻

Davis, B. and Menchero, J. (2010). Risk Contribution is Exposure times Volatility times Correlation. Technical Report. MSCI Barra Research.

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