作者：石川

摘要：實(shí)證結(jié)果顯示，因子收益率的時(shí)序信息可以改進(jìn) SDF 估計(jì)。

The cross-section and time series of stock returns contains a wealth of information about the stochastic discount factor (SDF).

2020 年 5 月，Review of Financial Studies 推出了題為 New Methods in the Cross-Section 的?？?。兩位?？庉嬕蔡氐貙懥艘黄鸞1]文章（Karolyi and Nieuwerburgh 2020）介紹這期?？６厦孢@句話就出自該文摘要的第一句。它傳遞出了相當(dāng)多的信息量。

首先，人們之所以關(guān)心 SDF，是因?yàn)樗?mean-variance efficient frontier 是等價(jià)的[2]；后者決定了最大夏普率，而最大化樣本外（條件）夏普率一直都是人們的目標(biāo)。所以對(duì) SDF 的估計(jì)無(wú)疑對(duì)這方面有很大的啟發(fā)。在上面這句英文中，和本文最相關(guān)的關(guān)鍵詞是 time series，即股票收益率的時(shí)序信息。

最近兩年，在利用股票平均收益截面（cross-section）信息估計(jì) SDF（或者 SDF 的等價(jià)物 —— 多因子模型[3]）方面出現(xiàn)了很多佳作，其中頗具代表性的見刊的文章包括 2019 和 2020 年分別獲得 Journal of Financial Economics Fama-DFA best paper award 的雄文Kelly, Pruitt, and Su (2019) 和 Kozak, Nagel, and Santosh (2020)[4]。不過，利用收益率時(shí)序信息來改進(jìn) SDF 估計(jì)方面的研究則寥若晨星。

你問為什么，因?yàn)闀r(shí)序收益率難預(yù)測(cè)?。?/span>我們來理一理。根據(jù) Hansen and Jagannathan (1991)，SDF 和個(gè)股 excess return 滿足如下關(guān)系：

?

其中??是 SDF，且由于??表示超額收益，因此滿足??。如果從上式出發(fā)，則意味著想要更好的估計(jì) SDF，就需要對(duì)個(gè)股收益率進(jìn)行時(shí)序預(yù)測(cè)。但這無(wú)疑是很困難的。因此，有必要把上式進(jìn)行簡(jiǎn)化。大量實(shí)證研究表明，股票的收益率和各種公司特征（firm characteristics）相關(guān)，因此可以利用有限個(gè)公司特征把上式中的??——??期 SDF 對(duì)股票的 loading 向量 —— 轉(zhuǎn)化為如下的形式：

?

?

其中??是??階矩陣，代表??個(gè)股票在??個(gè)公司特征上的取值，而 SDF 的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為：

?

由上述對(duì)??的假設(shè)可知，??和??滿足???？吹竭@里就一目了然了，??（??階向量）代表了??個(gè) managed portfolios 的收益率 —— 每個(gè)組合都是以??的某一行（即原始??的某一列，即某個(gè)公司特征）為權(quán)重的多空組合。而在上式中，??是 SDF 對(duì)這些組合的 loading 向量。通過這個(gè)變化，我們把 SDF 和??個(gè)基于公司特征構(gòu)造的投資組合 —— 因子！—— 聯(lián)系起來了。由資產(chǎn)定價(jià)原理可知，??期 SDF 的最優(yōu)權(quán)重為：

?

其中，??為因子的協(xié)方差矩陣。那么，我們是否距離利用時(shí)序信息更接近了呢？在上述最優(yōu)解中，為了更好的估計(jì) SDF，需要估計(jì)時(shí)變的因子預(yù)期收益率。這件事兒又有另一個(gè)令人興奮的名字：因子擇時(shí)。但是因子擇時(shí)何其容易？尤其當(dāng)因子的個(gè)數(shù)??很大的時(shí)候。是否還有辦法從縮減因子個(gè)數(shù)的角度把問題進(jìn)一步簡(jiǎn)化呢？好消息是，答案是肯定的。我們請(qǐng)出第二個(gè)武器：Kozak, Nagel, and Santosh (2018)[5]。Kozak, Nagel, and Santosh (2018) 的研究表明，在不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)的假設(shè)下，那些能夠解釋資產(chǎn)共同運(yùn)動(dòng)（即協(xié)方差矩陣）的因子同樣能夠解釋資產(chǎn)的預(yù)期超額收益。在這個(gè)結(jié)論下，只需要把上述因子理解成資產(chǎn)，然后對(duì)它們的協(xié)方差矩陣做 PCA。由于前幾個(gè)主成分極大的解釋了這些因子的共同運(yùn)動(dòng)，因此它們也將解釋因子的預(yù)期收益。在這個(gè)假設(shè)下，對(duì) SDF 的估計(jì)可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：

??

其中??表示由若干主成分構(gòu)成的投資組合的收益率向量，而 SDF 最優(yōu)權(quán)重為：

??

將其帶回 SDF 的表達(dá)式，就可以得到利用了時(shí)序信息的 SDF 估計(jì)：

??

我們來回顧一下上述兩步走，來看看是怎么得到的最終的 SDF 的估計(jì)。第一步把股票收益率轉(zhuǎn)化為因子的收益率（每個(gè)因子組合是按照 firm characteristic 構(gòu)造的 managed portfolio），并指出通過對(duì)因子收益率擇時(shí)在理論上可以更好的估計(jì) SDF；而第二步中將上述因子視作資產(chǎn)，進(jìn)一步通過 PCA 將需要估計(jì)的時(shí)變收益率個(gè)數(shù)從??個(gè)因子轉(zhuǎn)化成比??小的多的有限個(gè)主成分的個(gè)數(shù)，使得擇時(shí)成為可能。上述推論意味著，一旦能夠比較準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)??，就可以利用時(shí)序信息更好的估計(jì) SDF。

那么實(shí)證結(jié)果是否支持這個(gè)猜想呢？Haddad, Kozak, and Santosh (2020) 這篇發(fā)表在本文開篇提到的 RFS ?？系恼撐慕o出了肯定的答案。在實(shí)證中，該文利用美股中常見的 50 個(gè)因子為出發(fā)點(diǎn)。通過 PCA 發(fā)現(xiàn)，前 10 個(gè)主成分就可以解釋將近 75% 的波動(dòng)。

在接下來的實(shí)證中，他們最終選擇了前 5 個(gè)主成分。再加之市場(chǎng)組合，一共六個(gè)“資產(chǎn)”。它們的收益率就對(duì)應(yīng)了最終 SDF 表達(dá)式中的??。為了預(yù)測(cè)它們，該文使用了一個(gè)最為基本的 predictor —— BM spread。由于每個(gè)主成分組合僅僅是原始 50 個(gè)因子的線性組合，因此只需要先計(jì)算原始因子的 BM spread 再按特征向量為權(quán)重計(jì)算每個(gè)主成分的 BM spread。實(shí)證數(shù)據(jù)表明，BM spread 在樣本外預(yù)測(cè)??的效果很不錯(cuò)。

另一方面，下圖給出了利用 BM spread 預(yù)測(cè)不同主成分在樣本內(nèi)外的效果（因?yàn)橐还灿?50 個(gè)原始因子，因此一共有 50 個(gè)主成分）。不難看出，實(shí)證結(jié)果顯示樣本外的預(yù)測(cè)效果僅僅對(duì)前幾個(gè)主成分有效。但這并不影響，因?yàn)?span style="color: rgb(82, 82, 82); font-size: 16px;">圖中灰色虛線（右軸）顯示了每個(gè)主成分解釋的方差的比例，可見前幾個(gè)主成分極大解釋了原始因子資產(chǎn)的共同運(yùn)動(dòng)。這個(gè)實(shí)證結(jié)果完美的符合 Kozak, Nagel, and Santosh (2018) 的結(jié)論，即只有前幾個(gè)主成分（最能解釋波動(dòng)的那些）才有用。

我很欣賞的是，Haddad, Kozak, and Santosh (2020) 并沒有試圖用更多的變量或更復(fù)雜的模型，而是僅僅用了 BM[6]，來預(yù)測(cè)??。由資產(chǎn)定價(jià)理論可知，SDF 的最優(yōu)參數(shù)??同時(shí)是 mean-variance efficient portfolio 的權(quán)重，因此可以通過夏普率來判斷時(shí)序信息是否對(duì)估計(jì) SDF 提供了增量貢獻(xiàn)。為此，Haddad, Kozak, and Santosh (2020) 考慮了以下五種不同的處理方式：

Factor investing：不擇時(shí)，用 unconditional 估計(jì)；

Market timing：僅對(duì)市場(chǎng)因子擇時(shí)，對(duì)五個(gè)主成分不擇時(shí)；

Factor timing：同時(shí)對(duì)市場(chǎng)和五個(gè)主成分因子擇時(shí)；

Anomaly timing：對(duì)市場(chǎng)不擇時(shí)，對(duì)五個(gè)主成分擇時(shí)；

Pure anom. timing：市場(chǎng)權(quán)重設(shè)為 0，主成分因子權(quán)重由 conditional 預(yù)期相對(duì) unconditional 預(yù)期的偏離決定。

這五個(gè)處理方式的樣本內(nèi)外夏普率如下表所示。以樣本外夏普率為例，最好的結(jié)果是 anomaly timing 和 factor timing 兩種，這說明利用對(duì)因子擇時(shí)是有益的（能夠增大夏普率）。不過有意思的是，anomaly timing 戰(zhàn)勝了 factor timing 則說明，雖然對(duì)因子擇時(shí)是有益的，但是對(duì)（美股）市場(chǎng)擇時(shí)（似乎）是徒勞的。

除了從夏普率角度來評(píng)估，我們自然也關(guān)心對(duì) SDF 的估計(jì)。由 Hansen and Jagannathan (1991) bond[7]可知，任何資產(chǎn)的夏普率的上限由??決定。在我們的設(shè)定下，由于??，所以任何資產(chǎn)夏普率的上限為??。因此，通過考察 SDF 的條件方差的大小，就可以判斷利用時(shí)序信息是否改進(jìn)了 SDF 估計(jì)。

作為比較，Campbell and Cochrane (1999) 對(duì) SDF 方差的估計(jì)為 0 到 1.2 之間。而 Haddad, Kozak, and Santosh (2020) 的估計(jì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于這個(gè)區(qū)間，也高于不進(jìn)行因子擇時(shí)的結(jié)果（下圖）。結(jié)果顯示，若不進(jìn)行因子擇時(shí)，??的估計(jì)為 1.67，而若只進(jìn)行市場(chǎng)擇時(shí)，這個(gè)數(shù)值僅僅上升至 1.71。而一旦加入因子擇時(shí)，?? 則高達(dá) 2.96。

進(jìn)一步的，下圖顯示了??如何隨時(shí)間波動(dòng)。當(dāng)考慮因子擇時(shí)后，??的波動(dòng)范圍較僅考慮市場(chǎng)擇時(shí)要大得多。這說明如果不考慮因子擇時(shí)，將會(huì)丟失掉很多 SDF 的信息。

最后，該文還研究了 SDF 方差和宏觀經(jīng)濟(jì)之間的關(guān)系（下圖）。不過，幾位作者也強(qiáng)調(diào)，這部分研究是偏實(shí)證性質(zhì)的。人們不應(yīng)急于從回歸系數(shù)的正負(fù)中盲目得出因果推斷，而是應(yīng)該以這些客觀存在的實(shí)證數(shù)據(jù)為起點(diǎn)，更好的研究 SDF 和股票預(yù)期收益的截面差異。

以上就是 Haddad, Kozak, and Santosh (2020) 一文的核心結(jié)果。其實(shí)，這篇文章的標(biāo)題正是 Factor Timing —— 因子擇時(shí)。然而，我沒有選擇因子擇時(shí)作為這篇小文的標(biāo)題。其原因是，這四個(gè)字實(shí)在是太火，我怕一些小伙伴會(huì)被這個(gè)標(biāo)題吸引進(jìn)來，但在看完后卻留下一句“這不是我想要的”。正如當(dāng)初我看完這個(gè)這篇論文的標(biāo)題就激動(dòng)的讀下去，但卻發(fā)現(xiàn)它的內(nèi)容 —— 雖然夠硬核 —— 但是并不是你我心中想象的那種因子擇時(shí)（RFS 畢竟不是 JPM……），你懂的。

Anyway，Campbell Harvey 曾說過，因子擇時(shí)這件事兒雖然非常難，但卻是值得研究。因此，雖然是從估計(jì) SDF 入手，但考慮到 SDF 和 mean-variance efficient frontier 以及多因子模型的等價(jià)性，該文的實(shí)證結(jié)果以及通過 PCA 的處理方式依然能給我們啟發(fā)。

最后，再忍不住吐槽一句：也許不久的將來，我們就能看到有人把 A 股的數(shù)據(jù)套在相似的方法中，然后搖身一變成為另一篇（次）頂刊論文也不一定，就像最近剛被 JFE 接收的某篇（還是賣個(gè)關(guān)子吧）。

備注：

[1] 不完全一樣，論文的名字是 New methods for the cross-section of returns，專刊標(biāo)題是 New methods in the cross-section。

[2] 見《尋找 Mean-Variance Frontier》。

[3] 見《FF3 們背后的資產(chǎn)定價(jià)理論》。

[4] 忍不住吐個(gè)槽，這兩篇真是 JFE 這兩年在資產(chǎn)定價(jià)方面的扛把子，其它的大部分……

[5] 見《Which Beta (III) ?》。

[6] 當(dāng)然，我們僅僅看到了發(fā)表出來的版本。

[7] 見《尋找 Mean-Variance Frontier》。

參考文獻(xiàn)

Campbell, J. Y. and J. H. Cochrane (1999). By force of habit: A consumption-based explanation of aggregate stock market behavior. Journal of Political Economy 107(2), 205 – 251.

Karolyi, G. A. and S. V. Nieuwerburgh (2020). New methods for the cross-section of returns. Review of Financial Studies 33(5), 1879 – 1890.

Kelly, B. T., S. Pruitt, and Y. Su (2019). Characteristics are covariances: A unified model of risk and return. Journal of Financial Economics 134(3), 501 – 524.

Kozak, S., S. Nagel, and S. Santosh (2018). Interpreting factor models.Journal of Finance 73(3), 1183 – 1223.

Kozak, S., S. Nagel, and S. Santosh (2020). Shrinking the cross-section. Journal of Financial Economics 135(2), 271 – 292.

Haddad, V., S. Kozak, and S. Santosh (2020). Factor timing. Review of Financial Studies 33(5), 1980 – 2018.

Hansen, L.?P. and?R. Jagannathan (1991). Implications of security market data for models?of dynamic economics.?Journal of Political Economy?99(2), 225 – 262.

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