作者：石川

摘要：人人都熟知夏普比率，但只有當它被使用得當時，才能提高投資管理水平。

1 夏普比率

在投資領域，夏普比率（Sharpe Ratio）是人們耳熟能詳?shù)囊粋€概念。它因為同時考慮了回報和風險而成為衡量一個策略，或者基金業(yè)績的核心指標之一。最初在 William Sharpe 提出這個概念的時候（Sharpe 1966），它的名字叫 Reward-to-Variability Ratio (R/V)，這個名字很好的反映了它的實質；不過后來，這個名字被人們談及的越來越少，人們更愿意使用“夏普比率”這個叫法。

在 William Sharpe 自己解讀夏普比率的一篇文章（Sharpe 1994）中，它指出夏普比率分為事前夏普比率（the Ex Ante Sharpe Ratio）以及事后夏普比率（the Ex Post Sharpe Ratio）。前者使用對未來單期收益率均值和標準差的預測進行計算，而后者使用歷史數(shù)據(jù)計算。通常，當我們談及夏普比率的時候，默認的都是后者。

按照 Sharpe (1994) 的定義，假設 R_t 為 t 期的收益率，R_f 為無風險收益率，則使用 t = 1 到 T 這段長度的歷史數(shù)據(jù)計算的（事后）夏普比率為：

用白話說，如果標準差可以理解為風險的代理指標后，那么夏普比率度量的就是風險調整后的超額收益。在上面的公式中，無論是夏普比率、收益率均值還是標準差，它們的符號上面都有一個上標，說明它們是從樣本數(shù)據(jù)中估計出來的數(shù)據(jù)。它是否能準確的衡量過去一段時間一個策略或一支基金的真實夏普比率呢？本文的第三節(jié)會回答這個問題。

今天我們就來聊聊夏普比率。文章每節(jié)都會圍繞著夏普比率這個概念，但每節(jié)獨立自成一個方面。因此我稱它為“夏普比率隨想”。希望讀完能帶給你一點點啟發(fā)，重新審視這個“我們自認為理解的不能不能的了”的夏普比率。

2 直觀上認識

談到夏普比率，首先要說明計算它的頻率。人們通常所說的夏普比率是年化夏普比率。那么，對于一個量化投資策略，年化夏普比率多大才比較好的？一般來說，如果一個策略在回測中的年化夏普比率（扣除各種交易成本后）小于 1，它就沒有什么繼續(xù)被研究的價值了（確實殘酷）。很多量化對沖基金往往要求回測中的年化夏普比率超過 2；更有甚者（某家全球上著名的量化對沖基金）僅僅考慮年化夏普比率大于 3 的策略。

年化夏普比率為 1、2 甚至是 3 是什么概念呢？下圖是假象的三條凈值曲線。它們都是假設投資長度為十年，并使用正態(tài)分布隨機生成的月頻收益率（均值為 2%），然后按照給定的年化夏普比率反推出收益率的標準差。

當年化夏普比率為 3 時，凈值曲線（在縱軸為對數(shù)坐標時）基本上是一條直線了；當年化夏普比率為 2 時，它的凈值曲線也僅在局部有一些小的波動；當年化夏普比率為 1 時，它的凈值曲線在全局范圍內呈現(xiàn)出更大的波動；即便如此它也是個靠譜的賺錢策略（想想 A 股各大指數(shù)長期以來可憐的夏普比率）。

上面的例子告訴我們，當（年化）夏普比率為 3 的時候，凈值曲線基本上就是一直漲，可想而知其難度。但是我們往往在市場上能看到一些策略，它們計算出來的（年化）夏普比率往往比 3 還高，有些還高的離譜。這個現(xiàn)象背后的一種解釋是，頻率越高的策略，夏普比率可能越高；特別是對于那些高頻策略，幾乎每天賺錢的那種，兩位數(shù)的夏普比率都絕非罕見。

我絕不否認市場中有這種“神一般的存在”，但是超高夏普比率的背后恐怕還有一個更合理的解釋 —— 年化的時候計算錯了，過度的高估了年化夏普比率。為了說明這一點，下面就來看看夏普比率的統(tǒng)計特性。

3 統(tǒng)計特性

在本文第 1 節(jié)介紹（事后）夏普比率的公式中，夏普比率（包括計算它的收益率均值和標準差）是從樣本數(shù)據(jù)中估計出來的數(shù)據(jù)；它僅僅是某個策略或者基金業(yè)績在過去一段時間內真實（但未知）的夏普比率的一個估計。它最致命的問題是沒有考慮單期收益率之間的相關性（下面英文是 Sharpe 1994 中談及夏普比率計算公式中沒有考慮相關性的部分），這將造成樣本夏普比率和真實夏普比率之間的誤差。更重要的是，在使用高頻夏普比率來推導年化夏普比率的時候，不考慮單期收益率的相關性將造成年化夏普比率估計的巨大誤差。

為了定量分析樣本夏普比率和真實夏普比率之間的誤差，以及從高頻（比如日頻、周頻、月頻）夏普比率推算低頻（比如年化）夏普比率時的誤差，Lo (2002) 研究了夏普比率的統(tǒng)計性質。對于最簡單的情況 —— 假設單期收益率滿足 IID 分布，則樣本夏普比率對真實夏普比率估計的漸近分布滿足：

其中 μ、σ 和 SR 分別表示單期收益率的真實均值、標準差和以它們計算出的真實夏普比率。由此可知，樣本夏普比率的 Standard Error 滿足：

在實際使用時，可以在上式中將真實夏普比率替換為樣本夏普比率。下圖給出了不同夏普比率和樣本個數(shù)對應的夏普比率估計誤差（Lo 2002）。夏普比率越高，它的 standard error 越大；而當樣本個數(shù)小的時候，這個問題更加嚴重。所以，如果有人只給你看了很短的業(yè)績，并告訴你一個很高的夏普比率，那就要小心了。

如果單期收益率不滿足 IID 分布，則估算樣本夏普比率的誤差更復雜一些，但仍可以使用 GMM 方法求解，具體參見 Lo (2002)。再來看看用高頻夏普比率推算低頻夏普比率的情況。假如我們有使用月頻收益率計算出的夏普比率，當把它換算成年化夏普比率的時候，常見的做法是乘以根號 12。然而，這種做法正確的前提是，單期（這里是月頻）收益率滿足 IID。一旦這個假設不成立，上述計算方法就有不小的問題。

首先仍然考慮最簡單的 IID 情況。令 SR(q) 表示 q 期真實夏普比率，Lo (2002) 給出如下結果：

下面來考慮非 IID 的情況，即單期收益率之間存在自相關性（可能是正的，也可能是負的）。假設收益率滿足平穩(wěn)性、令 ρ_k 表示間隔 k 期的自相關系數(shù)，則有：

可見，當單期收益率之間不滿足 IID 時，計算 q 期夏普比率就不能簡單的乘以根號 q 了，而是要計算一個系數(shù) η(q)，它和收益率的各階自相關系數(shù)有關。對于最簡單的 AR(1) 情況，η(q) 和期數(shù) q 以及自相關系數(shù) ρ 的關系可以從下面這個表中感受一二。

表中 ρ = 0 對應的是根號 q。當 ρ > 0 時（收益率正相關），η(q) 小于根號 q；說明當收益率正相關時，按照傳統(tǒng)方法計算的 q 期夏普比率高估了其真實值。當 ρ < 0 時（收益率負相關），η(q) 大于根號 q；說明當收益率負相關時，按照傳統(tǒng)方法計算的 q 期夏普比率低估了其真實值。

這樣的結果不難理解。當計算 q 期夏普比率的時候，對于 IID 的情況，收益率按 q 增長，而標準差隨根號 q 增長，因此最終夏普比率按照 q/sqrt(q) = 根號 q 增長。但是當收益率之間有正（負）相關時，標準差的增長要快（慢）于 IID 的情況，導致 η(q) 大（小）于根號 q。

總結一下，本節(jié)的介紹說明以下兩點：

最后，對于那些想要進一步研究 Lo (2002) 成果的小伙伴，需要指出的是他在研究 q 期夏普比率的統(tǒng)計特性時，使用的是單期的百分比收益率而非對數(shù)收益率，因此結果是一種近似。Lin and Chou (2003) 指出當投資期限很長時，不考慮復利的影響也會在計算夏普比率時產生誤差。

4 夏普比率檢驗策略是否有效

最后來聊聊隨想的最后一個部分。有效市場假說拉開了學術界和業(yè)界關于市場有效性長達數(shù)十年的探討。如果將“有效性”這個概念放在一個策略上又如何呢？

我經常在券商報告上看到這樣的論調：首先通過一個目標算法找到了一個策略 A，回測中得到了不錯的效果；然后又在 A 的基礎上加上了某種 ensemble 算法得到了策略 B，并指出這個策略 B 取得了比 A 更加優(yōu)異的風險收益比（即夏普比率）。

這個結果說明策略 B 比策略 A 更加有效。換句話說，如果一個策略可以通過進一步的擇時或者其他直接作用于該策略收益率序列的任何算法，使得它的夏普比率進一步提高，那么這個策略就不是有效的?；诖颂岢鲆韵虏孪耄?/span>一個有效的策略應該是時序收益率均值為正，且每期收益率之間滿足 IID 分布，它的夏普比率無法通過其他任何 ensemble 函數(shù)提高。

夏普比率衡量了一個策略的隨機性，因此只要是存在隨機性的交易系統(tǒng)，它的夏普比率就一定有上界。如果一個策略的各期收益率之間有相關性，那么由引理可以找到一個 ensemble 函數(shù)，使改進后的策略有更高的夏普比率，直到各期收益率之間滿足 IID。如果這個關于有效策略的猜想是對的，那么當我們想改進一個策略時，可以考慮從分析它收益率的序列相關性入手。

這和 efficient frontier （下圖）有些異曲同工。當考慮了無風險收益后，有效邊界正是下圖中的黃色射線，它又稱為資本配置線（capital allocation line）。它說明任何有效的資產組合都應該是無風險收益和 tangent portfolio 的線性組合，它追求給定風險下的最大期望收益。

這條黃線說明投資組合超額收益（收益減去無風險收益率）的增長隨標準差是線性的，即黃線上的所有點都有相同的斜率；而根據(jù)定義，這個斜率正是夏普比率。因此，有效投資組合正是為了最大化組合的夏普比率。

5 結語

如果問 Sharpe 本人關于夏普比率，最重要的一點是什么，我猜他會說：夏普比率描述的是一個零額投資策略單位風險對應的期望收益，兩個投資品的期望收益之差（按無風險利率借來錢，投資到風險資產）構成了這樣一個策略，這就是為什么在計算夏普比率的時候必須要減去無風險利率。事實上，Sharpe 確實反復強調過這一點（Sharpe 1994）:

The Sharpe Ratio is designed to measure the expected return per unit of risk for?a zero investment strategy. The difference between the returns on two investment assets represents the results of such a strategy.?The Sharpe Ratio does not cover cases in which only one investment return is involved.

舉個例子，假如有兩個投資品 X 和 Y，前者期望收益 5%，標準差 10%；后者期望收益 8%，標準差 20%。另外假設無風險收益率為 3%。如果我們錯誤的計算風險收益比 —— 即使用投資品的收益（而非減去無風險的超額部分）直接除以標準差，那么得出的結論是 X （比值是 5%/10% = 0.5）強于 Y（比值是 8%/20% = 0.4）。但是根據(jù)夏普比率，X （夏普比率 0.2）應該弱于 Y（夏普比率 0.25）。

如果有個投資者想在 X 和 Y 之間選擇，目標是在 10% 的風險下獲得更高的收益。如果按照錯誤的風險收益比，他會選擇 X，并獲得 5% 的期望收益。而如果按照夏普比率度量，他會選擇 Y（因為 Y 的夏普比率高于 X），并把一半的資金投資于無風險、另一半投資于 Y，這會讓他在 10% 的風險下獲得 5.5% 的期望收益，優(yōu)于前一種選擇。這說明夏普比率才是正確的度量。

在 Sharpe 談及夏普比率的著名文章 The Sharpe Ratio（Sharpe 1994）中，在這個大標題的下面還有一行小字：

Properly used, it can improve investment management.

無疑，這里面核心的前提條件是使用得當。面對這個在市場中天天被我們說、為我們用的風險收益度量指標，也許是時候重新審視一番、并問問我們自己到底用對了沒有。

參考文獻

Lin, M.-C. and P.-H. Chou (2003). The pitfall of using Sharpe ratio. Finance Letters 1, 84 – 89.

Lo, A. W. (2002). The statistics of Sharpe ratios. Financial Analysts Journal 58(4), 36 – 52.

Sharpe, W. F. (1966). Mutual fund performance. Journal of Business 39(1), 119 – 138.

Sharpe, W. F. (1994). The Sharpe ratio. Journal of Portfolio Management 21(1), 49 – 58.

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