作者：石川

摘要：本文為系列第一篇：介紹金融時(shí)間序列的特性和進(jìn)行時(shí)間序列分析的目的；解釋時(shí)間序列分析中的核心概念：自相關(guān)性。

1 引言

時(shí)間序列分析（time series analysis）是量化投資中的一門基本技術(shù)。時(shí)間序列是指在一定時(shí)間內(nèi)按時(shí)間順序測量的某個(gè)變量的取值序列。比如變量是股票價(jià)格，那么它隨時(shí)間的變化就是一個(gè)時(shí)間序列；同樣的，如果變量是股票的收益率，則它隨時(shí)間的變化也是一個(gè)時(shí)間序列。時(shí)間序列分析就是使用統(tǒng)計(jì)的手段對這個(gè)序列的過去進(jìn)行分析，以此對該變量的變化特性建模、并對未來進(jìn)行預(yù)測。

時(shí)間序列分析在工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、氣象學(xué)、金融學(xué)等眾多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。在金融學(xué)領(lǐng)域，介紹時(shí)間序列分析的優(yōu)秀書籍層出不窮。其中最家喻戶曉之一的要數(shù)美國芝加哥大學(xué)商學(xué)院 Ruey S. Tsay 教授撰寫的金融時(shí)間序列分析——Analysis of Financial Time Series（下圖，該書也同時(shí)有中文版）。

金融時(shí)間序列分析要求使用者具備一定的高等數(shù)學(xué)知識。特別是其中一些高級的模型，如分析波動率的 ARCH/GARCH 模型、極值理論、連續(xù)隨機(jī)過程、狀態(tài)空間模型等都對使用者的數(shù)學(xué)水平有著極高的要求。因此，在很多人眼中，金融時(shí)間序列分析無疑帶著厚厚的面紗，令人望而卻步。然而，如果學(xué)習(xí)的目的是為了解金融時(shí)間序列的特點(diǎn)、熟悉金融時(shí)間序列分析的目的、并使用線性但非常實(shí)用的模型（比如 ARMA 模型）對金融時(shí)間序列進(jìn)行預(yù)測并以此制定量化策略，那么只要具備簡單的統(tǒng)計(jì)學(xué)基礎(chǔ)，就完全能夠?qū)崿F(xiàn)這些目標(biāo)。

出于這個(gè)目的，從本周開始，量化核武研究這個(gè)專題下將推出四篇文章，深入淺出的介紹金融時(shí)間序列分析的相關(guān)知識。該系列不會涉及上面提到的那些高級模型；相反的，本系列以對股票收益率建模并構(gòu)建投資策略為目標(biāo)，按部就班的把實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)所需要的每一塊“積木”清晰地呈獻(xiàn)給讀者。這四篇文章的結(jié)構(gòu)為：

本系列文章會避免過多羅列晦澀難懂的大數(shù)學(xué)（但會涉及必要的數(shù)學(xué)知識），希望帶你走入金融時(shí)間序列分析的大門，為你今后學(xué)習(xí)更高級的模型奠定一些基礎(chǔ)。這是寫給你的金融時(shí)間序列分析。

2 金融時(shí)間序列分析

為了避免下文中涉及的概念過于抽象，我們假設(shè)本文討論的金融時(shí)間序列為投資品的收益率序列。

金融時(shí)間序列分析考慮的是金融變量（比如投資品收益率）隨時(shí)間演變的理論和實(shí)踐。任何金融時(shí)間序列都包含不確定因素，因此統(tǒng)計(jì)學(xué)的理論和方法在金融時(shí)間序列分析中至關(guān)重要。金融資產(chǎn)的時(shí)間序列常被看作是未知隨機(jī)變量序列隨時(shí)間變化的一個(gè)實(shí)現(xiàn)。通常假設(shè)該隨機(jī)變量序列僅在時(shí)間軸上的離散點(diǎn)有定義，則該隨機(jī)變量序列就是一個(gè)離散隨機(jī)過程。比如股票的日收益率就是離散的時(shí)間序列。在量化投資領(lǐng)域，我們的目標(biāo)是通過統(tǒng)計(jì)手段對投資品的收益率這個(gè)時(shí)間序列建模，以此推斷序列中不同交易日的收益率之間有無任何特征，以此來預(yù)測未來的收益率并產(chǎn)生交易信號。

一個(gè)時(shí)間序列可能存在的特征包括以下幾種：

量化投資的交易者的目標(biāo)是利用統(tǒng)計(jì)建模來識別金融時(shí)間序列中潛在的趨勢、季節(jié)變化和序列相關(guān)性。利用一個(gè)好的模型，金融時(shí)間序列分析的主要應(yīng)用包括：

上文說到，金融時(shí)間序列的關(guān)系中，最重要的當(dāng)屬自相關(guān)性。這是因?yàn)槲覀兒苋菀讖囊粋€(gè)時(shí)間序列中識別出趨勢以及季節(jié)變換。當(dāng)除去這些關(guān)系后，剩下的時(shí)間序列往往看來十分隨機(jī)。然而對于金融時(shí)間序列，比如投資品的收益率，看似隨機(jī)的時(shí)間序列中往往存在著驚人的自相關(guān)。對自相關(guān)建模并加以利用能夠大幅提高交易信號的準(zhǔn)確性。配對交易的均值回復(fù)策略就是這么一個(gè)例子。均值回復(fù)策略利用一對投資品價(jià)差序列的負(fù)相關(guān)性進(jìn)行投資，產(chǎn)生做多或者做空的交易信號，實(shí)現(xiàn)盈利。

本文的下面幾節(jié)就來介紹如何計(jì)算時(shí)間序列的自相關(guān)性。為此，首先來看兩個(gè)基礎(chǔ)概念：協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)。之后會談及時(shí)間序列的平穩(wěn)性，它是時(shí)間序列分析的一個(gè)必要前提。最后介紹時(shí)間序列的自相關(guān)性。

3 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)

本節(jié)介紹概率論中的基礎(chǔ)概念：協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)。熟悉它們的讀者可跳過。假設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量 X 和 Y 滿足未知的概率分布（可以是同分布也可以是不同的分布）。E[] 為求解數(shù)學(xué)期望的運(yùn)算符。X 和 Y 的總體協(xié)方差（population covariance）為：

其中，μ_X 和 μ_Y 分別為 X 和 Y 的總體均值（population mean）。

在實(shí)際中，由于總體的概率分布未知，我們只能通過 X 和 Y 的觀測值來計(jì)算樣本均值（sample mean）。假設(shè)我們各有 X 和 Y 的觀測值 n 個(gè)，則它們的樣本協(xié)方差（sample covariance）為：

其中，\bar X 和 \bar Y 為 X 和 Y 的樣本均值。上面公式中右側(cè)之所以除以 n - 1 而非 n 的原因是，這么做可以保證樣本協(xié)方差是（未知）總體協(xié)方差的一個(gè)無偏估計(jì)（unbiased estimator）。假設(shè)我們隨機(jī)生成兩個(gè)隨機(jī)變量 X 和 Y 的序列，它們的散點(diǎn)圖如下。

按照上面的公式，X 和 Y 的樣本協(xié)方差為 893.215203。它有什么意義呢？在回答這個(gè)問題之前，讓我們再來看另外兩個(gè)變量，我們稱之為 X100 和 Y100。它們分別定義為 X100 = 100 * X 和 Y100 = 100 * Y。可見，它們僅僅是 X 和 Y 各乘以 100 得到的。X100 和 Y100 的樣本協(xié)方差為 8932152.03，這是 X 和 Y 的協(xié)方差的 10000 倍。然而，如果僅僅因此就得出 X100 和 Y100 的相關(guān)性高于 X 和 Y 的相關(guān)性就大錯(cuò)特錯(cuò)了。事實(shí)上，由于 X100 和 Y100 是由 X 和 Y 分別乘以 100 得到的，因此它們之間的相關(guān)性顯然和 X 與 Y 的相關(guān)性相同。

上面這個(gè)例子說明使用協(xié)方差衡量變量相關(guān)性的致命缺點(diǎn)：協(xié)方差是有量綱的，因此它的大小受隨機(jī)變量本身波動范圍的影響。在上個(gè)例子中，當(dāng)兩個(gè)隨機(jī)變量的波動范圍擴(kuò)大 100 倍后，它們的協(xié)方差擴(kuò)大了 10000 倍。因此，人們希望使用某個(gè)和協(xié)方差有關(guān)，但是又是無量綱的測量來描述兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)性。最簡單的做法就是用變量自身的波動對協(xié)方差進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化。相關(guān)系數(shù)（correlation 或者 correlation coefficient）便由此得來。

令 ρ 表示 X 和 Y 的總體相關(guān)系數(shù)（population correlation），它的定義為：

其中 σ_X 和 σ_Y 分別為 X 和 Y 的總體標(biāo)準(zhǔn)差（population standard deviation）。通過使用 X 和 Y 的標(biāo)準(zhǔn)差對它們的協(xié)方差歸一化，ρ 的取值范圍在 -1 到 +1 之間，即 [-1, +1]：

值得一提的是，相關(guān)系數(shù)僅僅刻畫 X 和 Y 之間的線性相關(guān)性；它不描述它們之間的（任何）非線性關(guān)系。在實(shí)際中，由于總體的概率分布未知，我們只能通過 X 和 Y 的觀測值來計(jì)算 X 和 Y 的樣本相關(guān)系數(shù)（sample correlation）：

其中，sd(X) 和 sd(Y) 分別為 X 和 Y 的樣本標(biāo)準(zhǔn)差（sample standard deviation）。在上面的例子中，無論考慮 X 和 Y 還是 X100 和 Y100（即無論如何縮放 X 和 Y），它們的相關(guān)系數(shù)都是 0.894655，這和我們的預(yù)期相符。由于這個(gè)數(shù)值非常接近 1，它意味著 X 和 Y 之間存在很強(qiáng)的線性正相關(guān)。

4 平穩(wěn)性

平穩(wěn)性（stationarity）是時(shí)間序列分析的基礎(chǔ)。

為了通俗的理解平穩(wěn)性，來看下面這個(gè)類比（這是我能想到的最好的例子）。假如某股票的日收益率由轉(zhuǎn)輪盤賭決定：轉(zhuǎn)到不同數(shù)字就對應(yīng)不同的收益率。在每個(gè)時(shí)刻 t，我們都轉(zhuǎn)同一個(gè)輪盤賭并確定收益率 r_t。只要這個(gè)輪盤不變，那么對于所有的 t，r_t 的概率分布都是一樣的、不隨時(shí)間變化。這樣的時(shí)間序列 ｛r_t｝ 就是（嚴(yán)格）平穩(wěn)的。如果從某個(gè)時(shí)刻 t’ 開始，輪盤發(fā)生了變化（比如輪盤上面的數(shù)字變多了），那么顯然從 t ≥ t’ 開始，r_t 的分布就便隨之發(fā)生變化，因此時(shí)間序列 ｛r_t｝?就不是平穩(wěn)的。

在數(shù)學(xué)上，時(shí)間序列的嚴(yán)平穩(wěn)（strictly stationary）有著更精確的定義：它要求時(shí)間序列中任意給定長度的兩段子序列都滿足相同的聯(lián)合分布。這是一個(gè)很強(qiáng)的條件，在實(shí)際中幾乎不可能被滿足。因此我們還有弱平穩(wěn)（weakly stationary）的定義，它要求時(shí)間序列滿足均值平穩(wěn)性（stationary in mean）和二階平穩(wěn)性（secondary order stationary）。

弱平穩(wěn)假設(shè)對于分析投資品收益率至關(guān)重要。

為了解釋這一點(diǎn)，來看一個(gè)例子。假設(shè)我們想知道 2017 年 5 月 16 日這天上證指數(shù)收益率的均值是多少，而我們的猜想是它來自一個(gè)未知的分布。也許你會馬上說“查一下 Wind 不就知道了？上證指數(shù)那天的收益率是 0.74%”。注意，0.74% 這個(gè)數(shù)值僅僅是那天上證指數(shù)未知收益率分布的一個(gè)實(shí)現(xiàn)（realization）！它不是均值，因此從時(shí)間序列分析的角度來說僅僅知道 0.74% 遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。

對于一般的未知概率分布，只要通過進(jìn)行大量重復(fù)性實(shí)驗(yàn)，就可以有足夠多的獨(dú)立觀測點(diǎn)來進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷（計(jì)算均值和方差這些統(tǒng)計(jì)量）。按照這個(gè)思路，我們必須把 2017 年 5 月 16 日這一天經(jīng)歷許多遍，得到許多個(gè)那天的收益率觀測值，然后用這些觀測值計(jì)算出收益率的均值。不幸的是，歷史只發(fā)生一次，時(shí)間也一去不復(fù)返，我們只能實(shí)實(shí)在在的經(jīng)歷一遍 2017 年 5 月 16 日，只能得到一個(gè)收益率的觀測點(diǎn)，即 0.74%。因此這個(gè)方法對于金融數(shù)據(jù)是行不通的。

然而，如果我們假設(shè)上證指數(shù)的收益率序列滿足弱平穩(wěn)，就柳暗花明了。根據(jù)弱平穩(wěn)假設(shè)，上證指數(shù)的日收益率序列 ｛r_t｝?的均值是一個(gè)與時(shí)間無關(guān)的常數(shù)，即 E[r_t] = μ。這樣便可以利用一段時(shí)間的歷史數(shù)據(jù)來計(jì)算出日收益率的均值。比如我們可以對上證指數(shù)在 2017 年交易日的日收益率序列取平均，把它作為對總體均值 μ 的一個(gè)估計(jì)。根據(jù)弱平穩(wěn)性，該平均值也正是 2017 年 5 月 16 日的收益率均值。

同樣的道理，在弱平穩(wěn)的假設(shè)下，可以根據(jù)歷史數(shù)據(jù)方便的對時(shí)間序列的諸多統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行推斷。在金融文獻(xiàn)中，也通常假定投資品收益率序列是弱平穩(wěn)的。只要有足夠多的歷史數(shù)據(jù)，這個(gè)假定可以用實(shí)證方法驗(yàn)證。比如，我們可以把數(shù)據(jù)分成若干個(gè)子集，并分別計(jì)算每個(gè)子集的統(tǒng)計(jì)量，然后通過統(tǒng)計(jì)的手段檢驗(yàn)這些來自不同子集的統(tǒng)計(jì)量的一致性。

需要說明的是，即便是弱平穩(wěn)性，有時(shí)金融數(shù)據(jù)也無法滿足?；叵氲诙?jié)中那個(gè)上證指數(shù)日收益率標(biāo)準(zhǔn)差的圖，它清晰的說明，在 2001 到 2017 年之間，標(biāo)準(zhǔn)差是隨時(shí)間變化的。這意味著在這段時(shí)間內(nèi)，收益率序列不滿足二階平穩(wěn)性。對于此，我們可以通過更復(fù)雜的非線性模型對波動率建模（比如 GARCH），又或者可以把時(shí)間段細(xì)分為更短的區(qū)間，使得在每個(gè)小區(qū)間內(nèi)的收益率序列盡量滿足弱平穩(wěn)性。

有了上一節(jié)和本節(jié)的內(nèi)容做鋪墊，下面我們就可以聊聊時(shí)間序列的自相關(guān)性了。

5 自相關(guān)性和自相關(guān)函數(shù)

假設(shè)我們有弱平穩(wěn)的投資品收益率序列 ｛r_t｝。自相關(guān)性考察的是 t 時(shí)刻的收益率 r_t 和距當(dāng)前任意間隔 k 時(shí)刻的收益率 r_(t-k) 之間的線性相依關(guān)系（k 的取值是所有 ≥ 0 的整數(shù)）。由于 r_t 和 r_(t-k) 來自同一個(gè)時(shí)間序列，因此我們將第三節(jié)中的相關(guān)系數(shù)的概念應(yīng)用到 r_t 和 r_(t-k) 上，便推廣出自相關(guān)系數(shù)（autocorrelation）。

在弱平穩(wěn)假設(shè)下，這個(gè)間隔為 k 的自相關(guān)系數(shù)與時(shí)間 t 無關(guān)，而僅僅與間隔 k 有關(guān)，由 ρ_k 表示。由第三節(jié)中介紹的相關(guān)系數(shù)的定義可知：

上面的推導(dǎo)中用到了弱平穩(wěn)的性質(zhì)，即協(xié)方差和方差平穩(wěn)性（換句話說，二階平穩(wěn)性）。從這個(gè)定義不難看出，當(dāng) k = 0 時(shí)有：

這表示 r_t 的間隔為 0 的自相關(guān)系數(shù)恒定為 1。此外，ρ_k 還有如下的性質(zhì)：

和第三節(jié)一樣，上面定義的 ρ_k 是總體的統(tǒng)計(jì)特性。實(shí)際中，我們?nèi)匀恢荒芡ㄟ^有限的樣本數(shù)據(jù)來計(jì)算樣本的統(tǒng)計(jì)特性。令 ζ_k 為與 ρ_k 對應(yīng)的樣本統(tǒng)計(jì)量，則有：

上式中，c_k 是 r_t 的間隔為 k 的樣本自協(xié)方差（sample autocovariance of lag k）；ζ_k 為 r_t 的間隔為 k 的樣本自相關(guān)系數(shù)（sample autocorrelation of lag k）。如果把 ζ_k 看作是 k 的方程，則它通常被稱為樣本自相關(guān)方程（sample autocorrelation function；同樣的，ρ_k 為總體自相關(guān)方程），它刻畫了時(shí)間序列的重要特性。利用相關(guān)圖（correlogram）可以清晰地看到 ζ_k 是如何隨間隔 k 變化的。下圖為兩個(gè)假想時(shí)間序列的相關(guān)圖。它們呈現(xiàn)出完全不同結(jié)構(gòu)的自相關(guān)性。事實(shí)上，第一個(gè)相關(guān)圖的時(shí)間序列存在明顯的趨勢；而第二個(gè)相關(guān)圖的時(shí)間序列存在明顯的周期性。這兩個(gè)例子說明相關(guān)圖可以告訴我們很多時(shí)間序列的內(nèi)在特性。

金融時(shí)間序列的相關(guān)圖雖然遠(yuǎn)沒有這兩個(gè)假象序列的相關(guān)圖這么有結(jié)構(gòu)，但相關(guān)圖在我們對時(shí)間序列建模時(shí)至關(guān)重要。之前已經(jīng)說過，金融時(shí)間序列，特別是收益率序列，最重要的特性是一些不容易被發(fā)現(xiàn)的自相關(guān)性。（通常股票的收益率序列沒有季節(jié)性或者明顯的趨勢性；即便是弱趨勢也可以由自相關(guān)性反應(yīng)。）因此，拿來一個(gè)收益率序列，只要畫出相關(guān)圖，就可以檢測該序列在任何間隔 k 有無統(tǒng)計(jì)上顯著的自相關(guān)性。

對金融時(shí)間序列建模，最重要的就是挖掘出該序列中的不同間隔 k 的自相關(guān)性。相關(guān)圖可以幫助我們判斷模型是否合適。這是因?yàn)榻鹑跁r(shí)間序列的特征中往往包括相關(guān)性和隨機(jī)噪聲。如果模型很好的捕捉了自相關(guān)性，那么原始時(shí)間序列與模型擬合的時(shí)間序列之間的殘差應(yīng)該近似的等于隨機(jī)噪聲。殘差序列自然也是一個(gè)時(shí)間序列，因此可以對它畫出相關(guān)圖。一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)隨機(jī)噪聲的自相關(guān)滿足 ρ_0 = 1 以及 ρ_k = 0, k = 1, 2, 3, …，即對于任意不為 0 的間隔，隨機(jī)噪聲的自相關(guān)均為 0。下圖為一個(gè)隨機(jī)噪聲的相關(guān)圖（我們是用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布構(gòu)造了有 500 個(gè)點(diǎn)的隨機(jī)噪聲序列）：

關(guān)于這個(gè)圖：

因此，在評價(jià)對金融時(shí)間序列的建模是否合適時(shí)，我們首先找到原始時(shí)間序列和它的擬合序列之間的殘差序列；然后只要畫出這個(gè)殘差序列的相關(guān)圖就可以看到它是否含有任何模型未考慮的額外自相關(guān)性：

6 下文預(yù)告

作為金融時(shí)間序列分析系列的開篇，本文介紹金融時(shí)間序列的特性和進(jìn)行金融時(shí)間序列分析的目的；并解釋時(shí)間序列分析中的核心概念：自相關(guān)性。對金融時(shí)間序列建模的核心就是捕捉該序列中不同間隔上的自相關(guān)性。相關(guān)圖可以清晰地刻畫任何一個(gè)時(shí)間序列在不同間隔的自相關(guān)性。

在下一篇中，我們將會從最簡單的白噪聲和隨機(jī)游走出發(fā)，說明它們無法有效刻畫投資品收益率序列中體現(xiàn)出來的自相關(guān)性。這會促使我們提出更高級的模型，包括 AR，MA，以及 ARMA。這些模型背后的理論是什么？如何正確的挑選模型的參數(shù)以構(gòu)建最適當(dāng)?shù)哪Ｐ?？這些將會在本系列后面幾篇文章中探討。

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