均值回歸：循規(guī)蹈矩，偶發(fā)癲狂
發(fā)布時間：2017-06-22 | 來源: 川總寫量化
作者：石川
摘要：均值回歸策略在量化投資中應(yīng)用廣泛。但是它往往“收益有限、風(fēng)險無限”。本文就來揭開它神秘的面紗。
1 引言
均值回歸指的是一個變量隨著時間的變化在其均值上下波動的現(xiàn)象。
自然科學(xué)和社會科學(xué)中都有大量均值回歸（mean reversion 或 reverting to the mean）的例子。下圖為尼羅河年最低水位隨時間的變化，它表現(xiàn)出了明顯的均值回歸特性。
在社會科學(xué)中，諾貝爾獎獲得者、著名的行為金融學(xué)家、展望理論的提出者 Daniel Kahneman 曾提出了一個“體育畫報詛咒”的例子：凡是登上體育畫報封面的明星，在接下來的新賽季的表現(xiàn)都會“跌落人間”?？茖W(xué)研究表明，運動員的表現(xiàn)也是圍繞均值呈隨機分布。因此，上一個賽季擁有高光表現(xiàn)的明星（以至于登上了體育畫報），有很大可能在接下來的新賽季變得平庸。換句話說，運動員的表現(xiàn)呈現(xiàn)均值回歸特性。
雖然遠(yuǎn)不如自然和社會科學(xué)中的現(xiàn)象完美，但是在金融市場投資中也有近似均值回歸的現(xiàn)象，更是存在大量的圍繞該現(xiàn)象構(gòu)建的投資策略。那么，依靠均值回歸是否能夠掙到錢呢？這樣的策略風(fēng)險又有多大呢？這些就是本文要探討的問題。
2 金融領(lǐng)域的均值回歸
根據(jù)維基百科，金融市場的均值回歸定義如下：
In finance,?mean reversion?is the assumption that a stock's price will tend to move to the average price over time.
我們可以把上述定義中的“股票”換成其他任何投資品。我想強調(diào)的是，這個定義中最核心的兩個字是價格（而不是投資品的收益率）。這一點怎么強調(diào)都不過分：
“價格呈現(xiàn)均值回歸”等價于“收益率呈現(xiàn)負(fù)的序列相關(guān)性”。這是一種非常好的、可以被拿來構(gòu)建優(yōu)秀策略的特性。
“收益率呈現(xiàn)均值回歸（即收益率圍繞 0 隨機的上下波動）”等價于“價格呈現(xiàn)隨機游走”。這是投資品最差的一種形態(tài)（不幸的是，這也恰恰是實際中的情況），在這種情況下不存在有效的賺錢策略（運氣除外）。
在現(xiàn)實中，絕大多數(shù)單一（特地提出單一，為后面留個伏筆）投資品價格都不滿足均值回歸。如果有明顯的均值回歸，那么賺錢就太容易了，我們只需要做到所有那些偽專家說的“高拋低吸”。滿足均值回歸時，由于格在區(qū)間內(nèi)震蕩且圍繞其均值波動，高拋低吸當(dāng)然是可能的。比如下圖是上證指數(shù)從 2016 年 11 月到現(xiàn)在的波動區(qū)間，上限 3300 附近、下限 3050 左右。如果它就在這個區(qū)間內(nèi)呈現(xiàn)均值回歸的話，那么我們還愁賺不著錢嗎？
然而，現(xiàn)在來看都是事后諸葛亮。當(dāng)我們身在其中的時候，又有誰敢說上證指數(shù)會在這個區(qū)間內(nèi)震蕩呢？滿足均值回歸的投資品在現(xiàn)實中幾乎沒有的。如果一個時間序列滿足均值回歸，那么它一定也滿足平穩(wěn)性。平穩(wěn)性要求時間序列的均值和方差不隨時間變化。顯然，投資品的價格無法滿足這樣的假設(shè)。
現(xiàn)實中，投資品價格基本上都呈現(xiàn)幾何隨機游走（關(guān)于這方面，感興趣的讀者可以參考《布朗運動、伊藤引理、BS 公式》和《寫給你的金融時間序列分析》系列文章）。雖然單一投資品的價格不滿足均值回歸，但幸運的是，我們可以把多個投資品（通常是兩個）線性組合在一起，使它們的價差滿足均值回歸。
在數(shù)學(xué)上，如果多個非平穩(wěn)的時間序列通過線性組合得到一個平穩(wěn)的時間序列，則把滿足這種關(guān)系稱為協(xié)整（cointegration）。正因如此，均值回歸這種現(xiàn)象才在金融領(lǐng)域才有了廣泛的應(yīng)用。如果一個價格（或者價差）序列滿足均值回歸，那么當(dāng)前的價格對下一時刻價格的變化應(yīng)該有預(yù)測性。例如，如果當(dāng)前的價格高于均值，那么下一時刻的價格會傾向于朝著均值移動?；谶@樣的假設(shè)可以構(gòu)建一個描述均值回歸的線性數(shù)學(xué)模型。
對于價格（或多個投資品線性組合的價差）序列 y，該模型為：
我們可以通過歷史數(shù)據(jù)來估計模型中的參數(shù)。如果 y 滿足均值回歸，那么這個模型中的參數(shù) λ 就必須在統(tǒng)計上顯著的不為零（更確切的說，λ 需要顯著為負(fù)）。通?？梢允褂?ADF 檢驗（Augmented Dickey-Fuller Test）來考察 λ 的取值。
ADF 檢驗
原假設(shè)為當(dāng)前的價格對下一時刻價格的變化沒有預(yù)測性，即 λ=0。該檢驗的統(tǒng)計量是 λ 和它自身標(biāo)準(zhǔn)誤差之比，即 λ/SE(λ)。對于均值回歸模型，我們預(yù)期 λ/SE(λ) 為負(fù)。因此，只有當(dāng)這個統(tǒng)計值小于給定顯著性水平的閾值（閾值是負(fù)數(shù)）時，我們才能在對應(yīng)的置信水平下拒絕原假設(shè)、接受備擇假設(shè)，即 λ 統(tǒng)計上不為 0 而序列 y 呈現(xiàn)均值回歸特性。
一旦找到一個滿足均值回歸的價格或者價差序列，就可以用它構(gòu)建一個均值回歸策略，并利用這種特性來賺錢。下面我們就來看看一個經(jīng)典的例子。
3 配對交易
EWA 和 EWC 的配對交易是均值回歸策略的一個經(jīng)典例子。他們分別代表澳大利亞（EWA）和加拿大（EWC）股指的兩個 ETFs。由于這兩個國家的經(jīng)濟(jì)都主要依靠商品，因此我們預(yù)期在特定的線性組合下，這兩個 ETFs 的價差滿足均值回歸。為了驗證這一點，首先畫出這兩個 ETFs 的價格序列（下圖）?？梢姡鼈兇_實有很高的相似度，當(dāng)然這兩個價格之間的比例并不是 1:1——在絕大多數(shù)情況下，EWA 要比 EWC 高一些，它們之間存在一個隨時間變化的比例，這個比例也稱作 hedge ratio。
如果用 θ_t 來表示 t 時刻它們的比例，則可以構(gòu)建如下關(guān)系：
換句話說，d_t 就是它們線性組合得到的價差序列：
如果我們假設(shè) θ_t 不隨時間變化而是一個常數(shù)，則可以用這兩個歷史價格序列做線性回歸，從而確定 θ 的取值。之后便可以計算它倆線性組合的價差序列，如下圖所示。
直觀上看，價差序列確實符合均值回歸。對它進(jìn)行 ADF 檢驗，得到的統(tǒng)計值為 -4.09（p-value 為 0.0065），小于顯著性 1% 對應(yīng)的閾值 -3.96，這說明我們可以在 99% 的置信水平下拒絕原假設(shè)。ADF 檢驗說明該價差序列滿足均值回歸。
如何利用這個價差序列來構(gòu)建量化策略呢？首先必須明確的是，在這個策略中，我們交易的將是這個價差。當(dāng)價差在均值之下的時候，則做多價差；當(dāng)價差在均值之上的時候，則做空價差。但不要忘記，價差是我們?nèi)藶闃?gòu)建的。因此在實際交易中也必須通過配對交易 EWC 和 EWA?來實現(xiàn)對價差的多空交易。根據(jù)價差的數(shù)學(xué)表達(dá)式，最終的量化策略為：
當(dāng) d_t 小于均值之下的某個閾值時（做多買入點，long entry），做多 d_t，即做多 1 個單位的 EWC 并同時做空 θ_t 個單位的 EWA，當(dāng) d_t 回歸到均值之上的某個閾值時（做多平倉點，long exit），平倉；
當(dāng) d_t 大于均值之上的某個閾值時（做空買入點，short entry），做空 d_t，即做空 1 個單位的 EWC 并同時做多 θ_t 個單位的 EWA，當(dāng) d_t 回歸到均值之下的某個閾值時（做空平倉點，short exit），平倉。
在實際交易中，必須確定多空雙向交易開倉和平倉的閾值。此外，我們也假設(shè)這兩個投資品的比例 θ_t 是隨時間變化的。在我們的實驗中，采用狀態(tài)空間模型（state space model）中的卡爾曼濾波（Kalman filter）算法來動態(tài)確定 θ_t 以及上面提到的閾值的取值。狀態(tài)空間模型的思想可以簡述為它將 θ_t 看作一個未知的狀態(tài)，并通過觀測值來確定狀態(tài)的取值。詳細(xì)的介紹超出本文的范疇，我們會在今后某期量化核武研究專題中介紹狀態(tài)空間模型。由于交易的是 ETFs，我們假設(shè)萬分之三的成本。在這種假設(shè)下，上述價差交易策略的凈值曲線和最大回撤曲線如下：
在回測期內(nèi)，策略的年化連續(xù)復(fù)利收益率為 8.72%，最大回撤 -9.38%，夏普率 1.00。從凈值和最大回撤曲線中看出很大的一部分收益來自 2009 年；另外，在 2013 年到 2015 年間，策略發(fā)生了長達(dá) 700 多個自然日的回撤。盡管如此，策略的整體表現(xiàn)依然算是可圈可點，因此這哥倆的配對交易算是均值回歸策略里面的經(jīng)典案例。
在上面這個例子中，讓我們愿意相信該價差能夠維持均值回歸的根本原因是基本面層面的，即澳大利亞和加拿大這兩個國家的經(jīng)濟(jì)都由商品貿(mào)易主宰。只要這個先決條件不變，我們有理由相信它們的價差會一直均值回歸下去。但是必須說明的是，與趨勢追蹤策略的“收益無限、風(fēng)險有限”恰恰相反的是，均值回歸策略“收益有限、風(fēng)險無限”。當(dāng)基本面原因的突然消失以及使用超高杠桿時，一個均值回歸策略必然驟然失效、導(dǎo)致慘痛的虧損。長期資本的故事正是如此。
4 長期資本的教訓(xùn)
長期資本管理公司（Long-Term Capital Management）曾經(jīng)是美國華爾街首屈一指的對沖基金公司，在基本沒有虧損和回撤的情況下，取得了 1994 成立至 1997 年輝煌頂峰每年費后 28.5%、42.8%、40.8% 和 17% 的投資凈回報。1998 年初其凈資產(chǎn)達(dá)到 46 億美元，通過 33 倍杠桿控制 1500 億美元規(guī)模的金融資產(chǎn)。
長期資本管理公司的投資策略基于市場的有效性，認(rèn)為資本市場不合理的債券利差會逐漸減小，可以通過買入低估資產(chǎn)/賣出高估資產(chǎn)賺取這部分利差。他們通過對大量歷史數(shù)據(jù)的測算，認(rèn)為可以通過對債券投資進(jìn)行嚴(yán)格對沖，保證一個極低的風(fēng)險暴露。在執(zhí)行層面，他們通過精確的電腦自動數(shù)學(xué)模型發(fā)現(xiàn)眾多寶貴的債券利差投資機會，并通過向同業(yè)金融機構(gòu)融資，運用巨大的財務(wù)杠桿來放大收益。
1998 年初，亞洲金融危機爆發(fā)后低信用等級國債相較歐美國債利差顯著擴(kuò)大。經(jīng)過模型計算，長期資本管理公司的交易員相信互換利率交易利差會逐漸回縮。所以，他們動用大量資金拋空互換利率交易利差。1998 年 8 月，俄羅斯金融危機爆發(fā)，俄羅斯違背了承諾拒絕償付債款并任由盧布貶值；國際炒家和投資者紛紛撤資，從各種低信用等級債券中倉皇出逃，而這些撤出的資金唯一目的地就是風(fēng)險較低的歐美國家債券。所以，美國短期債券和 30 年長期債券利率大幅下調(diào)，長期資本公司持有的大量俄羅斯債券以及各種低信用國債利率火箭攀升，二者之間的利差并未如預(yù)期縮小而是進(jìn)一步顯著放大，高杠桿下產(chǎn)生的虧損驚人，長期資本管理公司的凈資產(chǎn) 1 個多月時間縮水 60%，被迫被美林、摩根出資收購接管，并于 2000 年徹底倒閉清算。這個教訓(xùn)是對均值回歸“風(fēng)險無限”最好的詮釋。
5 正確認(rèn)知
盡管具有“收益有限、風(fēng)險無限”的特性，但均值回歸策略仍然在量化投資中占據(jù)著一席之地。如何來正確的看待它的優(yōu)缺點呢？首先，隨著層出不窮的金融工具，越來越多的投資品的線性組合將會滿足均值回歸特性。滿足協(xié)整的投資品都存在某種基本面的原因，比如上面的 EWA 和 EWC，又比如 GDX 和 GLD —— 前者是跟蹤金礦開采公司而后者跟蹤黃金。諸如此類的例子還有很多。此外，均值回歸策略在投資的頻率和周期上非常靈活。我們既可以在高頻交易中找到價格的背離而運用均值回歸策略，又可以在低頻的價值投資中找到價格偏離基本面價值的公司來進(jìn)行投資（價格最終會回歸到基本面價值）。因此均值回歸策略的適用面非常廣泛。另一方面，均值回歸和主流的趨勢追蹤策略有很高的互補性。同時使用的話可以提高一個投資組合的夏普率。這些都是均值回歸策略的優(yōu)點。
而缺點方面，就如同上面長期資本的例子。誰也不知道基本面原因是否會突然失效。舉個例子，GDX 和 GLD 的價差在 2008 年突然失效，后來得知是因為能源價格的躥升（金礦開采需要大量能源）。因此，如果沒有做好風(fēng)控而依然等著價差回歸的話可能會因此而死的很慘。后續(xù)研究發(fā)現(xiàn)，GDX、GLD 和油價三者從那之后可以構(gòu)建出滿足協(xié)整的線性組合。再有就是當(dāng)一個均值回歸策略讓使用者嘗到甜頭之后，因為其較高的夏普率，投資者往往會變得非常大膽從而不自覺的加大杠桿。這無疑相當(dāng)于身上隨時綁著一顆雷。一旦價格未按預(yù)想的回歸，則有可能在很短的時間內(nèi)產(chǎn)生巨大的虧損。
最后來看看均值回歸策略都有哪些應(yīng)用場景：
股票配對：同行業(yè)內(nèi)相似的公司（比如花旗銀行和美國銀行）的股價的價差可能滿足均值回歸。但無論在基本面還是操作層面，這都是有困難的?；久鎸用?，每個公司有自身獨有的風(fēng)險，因此無法保證價差回歸。操作層面，配對交易需要做空股票，這是有高額的成本的。
ETF 配對：ETF 配對交易比股票配對交易要更切實際一些，就如同上面 EWA 和 EWC 的例子。此外，ETF 由于包括一籃子股票，它可以規(guī)避公司特有的風(fēng)險。
指數(shù)套利：這指的是同時交易指數(shù)以及構(gòu)成該指數(shù)的成分股。當(dāng)然，這僅僅是理論上存在套利的可能，而實際交易是要面對種種限制以及可觀的交易成本。
截面均值回歸：我們可以考慮一籃子股票。這里均值回歸的定義為，這些股票的價格雖然不一定相對于它們各自的長期均值回歸，但是它們的收益率會相對于這一組股票的平均收益率來回歸。即這一籃子股票中，之前漲的好的可能要跌一跌，而之前跌的多的就要漲一漲。這也就是人們常說的“補漲補跌”，相信你一定不陌生。
恐慌指數(shù)均值回歸：芝加哥期權(quán)交易所的 VIX 恐慌指數(shù)遠(yuǎn)近聞名。它測量的是標(biāo)普 500 指數(shù)在未來 30 天的波動率情況。不論你是否相信，波動率自身呈現(xiàn)一定的均值回歸特性。這是因為波動率不可能持續(xù)的增大或者減?。ㄏ胂笠幌虏▌勇食掷m(xù)往一個方向變化是，對應(yīng)的收益率會如何變化），因此它只能圍繞均值波動。因此，市場中有很多圍繞 VIX 的投資工具（比如 VXX 和 XIV）進(jìn)行均值回歸的策略。
商品期貨配對：商品期貨市場蘊含了均值回歸策略的巨大機會。外匯的交叉匯率以及商品的跨期套利、跨市場套利都是孕育均值回歸策略的肥沃土壤。
這些巨大的應(yīng)用前景維持著均值回歸策略旺盛的生命力；任何一個量化投資團(tuán)隊都無法對它視而不見。
免責(zé)聲明：入市有風(fēng)險，投資需謹(jǐn)慎。在任何情況下，本文的內(nèi)容、信息及數(shù)據(jù)或所表述的意見并不構(gòu)成對任何人的投資建議。在任何情況下，本文作者及所屬機構(gòu)不對任何人因使用本文的任何內(nèi)容所引致的任何損失負(fù)任何責(zé)任。除特別說明外，文中圖表均直接或間接來自于相應(yīng)論文，僅為介紹之用，版權(quán)歸原作者和期刊所有。