作者：石川

摘要：風(fēng)險平價因橋水的全天候基金的優(yōu)異表現(xiàn)而名聲大噪。然而，如果不理解其核心邏輯就套用數(shù)學(xué)模型，無疑是東施效顰。

1 Dalio、全天候和風(fēng)險平價

在 20 世紀(jì) 90 年代初，橋水基金（Bridgewater Associates）的創(chuàng)始人 Ray Dalio 和他的合伙人 Bob Prince 首次提出了全天候（all weather）策略。該策略的初衷是構(gòu)建一個投資組合使其在不同的經(jīng)濟環(huán)境中都能夠有穩(wěn)健的表現(xiàn)。自 1996 年開始，Dalio 使用該策略管理他的家族基金，進而推出了全天候基金。事實上，橋水的全天候基金在過去 20 多年內(nèi)有著非凡的表現(xiàn)，這其中自然也包括 2008 年次貸危機和 2010 年的歐債危機。

如今，橋水已經(jīng)成為世界上最大的對沖基金（AUM 約 1600 億美元），而 Dalio 的全天候策略也早已享譽華爾街。雖然橋水版本的全天候策略的實施細(xì)節(jié)我們不得而知（那是人家的商業(yè)機密），但全天候的理念是完全公開的，Dalio 本人也在橋水的每日觀察中對它進行了解讀（Dalio et al. 2015）。

橋水認(rèn)為，各類投資品（權(quán)益、債券、商品等）的收益率由未來的經(jīng)濟情況決定，而經(jīng)濟情況則主要由經(jīng)濟增長和通脹兩大因素驅(qū)動。根據(jù)它們的變動，經(jīng)濟環(huán)境可分為四種情況 —— “經(jīng)濟上升”、“經(jīng)濟下降”、“通脹上升”、“通脹下降”，不同類投資品在不同經(jīng)濟環(huán)境中表現(xiàn)各異。比如，權(quán)益類資產(chǎn)（股票）傾向于在經(jīng)濟增長時有好的表現(xiàn)；債券類資產(chǎn)在經(jīng)濟變?nèi)趸蛲浵陆禃r收益更好；而商品在經(jīng)濟上升或通脹上升時投資回報更好。上述四種經(jīng)濟情況下利好的投資品如下面這個四宮格所示。

當(dāng)我們知道了在每種經(jīng)濟環(huán)境中應(yīng)該投資哪種投資品之后，下面一個自然的問題就是：未來一段時間屬于什么經(jīng)濟環(huán)境？對此，橋水給出的答案是：“不知道”也“不猜”！取而代之的是，橋水構(gòu)建了一個適應(yīng)于不同經(jīng)濟環(huán)境的投資組合，這便是“全天候”的含義。為此他們要求其“全天候”投資組合在這四種經(jīng)濟環(huán)境中有著同樣的風(fēng)險暴露。具體的，他們賦予每個經(jīng)濟情況 25% 的風(fēng)險?？梢岳斫鉃闃蛩谶@四種經(jīng)濟環(huán)境中各構(gòu)建一個子投資組合，每個子投資組合的風(fēng)險相等且各占總投資組合的四分之一?？偟耐顿Y組合就是這四個子投資組合的合集。

“全天候”的核心是將投資組合的風(fēng)險平均的暴露在不同的經(jīng)濟環(huán)境中，從而對沖市場環(huán)境的風(fēng)險，使得未來無論處于哪一種經(jīng)濟環(huán)境，該投資組合的風(fēng)險都是可控的。后來業(yè)界使用風(fēng)險平價（risk parity）這個術(shù)語來指代“將投資組合暴露于宏觀經(jīng)濟環(huán)境中的風(fēng)險平均分配到這四個經(jīng)濟環(huán)境中”這個理念。

看到這里，我們也許會問全天候策略在一些經(jīng)濟環(huán)境中配權(quán)益類資產(chǎn)而在另外的環(huán)境中配債券類資產(chǎn)，而債券類資產(chǎn)比權(quán)益類資產(chǎn)的風(fēng)險低很多，那么如何做到風(fēng)險平均分配呢？這個問題的答案便是“全天候”的另一個核心 —— 使用杠桿。低風(fēng)險、低回報的資產(chǎn)（如債券）可以通過加杠桿提高風(fēng)險以及回報；高風(fēng)險、高回報的資產(chǎn)（如股票）可以通過去杠桿降低風(fēng)險和回報。通過使用杠桿，使得經(jīng)濟四宮格中的各類資產(chǎn)對總的投資組合有相似的風(fēng)險貢獻。

此外，全天候策略要求這四個經(jīng)濟環(huán)境中的子投資組合有著近似的收益風(fēng)險比（即夏普率）。這意味著在平均分配了風(fēng)險后，每個環(huán)境中的子投資組合對總的投資組合有著相似的收益貢獻。這四個子投資組合每一個適應(yīng)一種經(jīng)濟環(huán)境，它們?yōu)榱藢_掉宏觀經(jīng)濟的風(fēng)險而構(gòu)建，因此表現(xiàn)存在一定的負(fù)相關(guān)。無論處于哪種經(jīng)濟環(huán)境，總會有一個適應(yīng)于該環(huán)境的投資組合表現(xiàn)好，可謂“你方唱罷我登場”。隨著時間的推移，由于存在風(fēng)險溢價，“四宮格”中的子投資組合都會上漲，因此總的投資組合便可以穿越不同的經(jīng)濟環(huán)境而經(jīng)久不衰。由于有效的對沖了風(fēng)險，全天候投資組合較每個子投資組合有更小的波動和更高的收益風(fēng)險比，因此長期來看它會取得比這些子組合更高的收益。

較傳統(tǒng)的按資金分配投資品的組合，按風(fēng)險分配的風(fēng)險平價策略能在不同的經(jīng)濟環(huán)境中做到更有效的對沖。比如，傳統(tǒng)的 60/40 投資組合將資金量的 60% 分配給股票，40% 分配給債券。但是，考慮到股票的風(fēng)險是債券的 3 倍，該投資組合風(fēng)險的 90% 事實上來自于股票。當(dāng)經(jīng)濟環(huán)境不利于股票時，債券的收益顯然無法和股票的虧損有效對沖。

2 等風(fēng)險貢獻組合

由于全天候基金的大獲成功，風(fēng)險平價理念在投資界迅速普及，被其他對沖基金競相模仿，形成了很多版本。這其中，最著名的版本當(dāng)屬等風(fēng)險貢獻投資組合（equally-weighted risk contributions portfolio，下文簡稱 EWRCP）。它使用投資組合（收益率）的波動率作為風(fēng)險的代理指標(biāo)，該方法以每個投資品對組合的波動率貢獻相同為目標(biāo)來確定最佳的配置權(quán)重。該組合的數(shù)學(xué)模型如下。

上述最優(yōu)化問題的輸入就是 N 個投資品的協(xié)方差矩陣 Θ 以及給定的組合風(fēng)險值 C。對其求解便得到最優(yōu)的配置 w_i，使得每個投資品對該組合有著同樣大小的風(fēng)險貢獻。上述模型在數(shù)學(xué)上雖然簡單，但是它背后的業(yè)務(wù)含義是什么呢？它又和我們熟悉的馬科維茨均值方差最優(yōu)化（MVO）問題有什么關(guān)聯(lián)呢？不難看出（下圖），在限定了投資組合的波動率之后，馬科維茨的 MVO 問題就等價于最大化投資組合的夏普率。

可以證明，當(dāng)投資品的夏普率相同，且收益率相互獨立時（即協(xié)方差矩陣 Θ 是一個對角陣），上述風(fēng)險平價最優(yōu)化問題就等價于最大化投資組合的夏普率問題。這就給等風(fēng)險貢獻投資組合一個非常合理的業(yè)務(wù)解釋 —— 它可以最大化投資組合的夏普率。

然而，如果夏普率不同且（或）投資品收益率之間不獨立（即協(xié)方差矩陣 Θ 的非對角線元素非零）又會怎樣呢？我們求解上述 EWRCP 模型得到的最優(yōu)權(quán)重到底有沒有意義呢？我們必須搞懂這個問題，因為在實際投資中，不同投資品之間的夏普率往往不同，且它們收益率之間存在一定的正相關(guān)或負(fù)相關(guān)。如果不弄清楚 EWRCP 模型背后的意義，拿來協(xié)方差矩陣就盲目的一通優(yōu)化，得到的所謂“最優(yōu)”風(fēng)險平價投資組合往往一點業(yè)務(wù)含義都沒有，該組合有時甚至?xí)斐删薮蟮奶潛p。

為了研究這個問題，在接下來的分析中，我們考察三個最優(yōu)化問題。第一個便是上述 EWRCP 風(fēng)險平價模型。在第二個模型中，考慮到不同投資品的夏普率不同，我們不把組合的風(fēng)險平均的分配給這些投資品，而是按照每個投資品自身的夏普率的平方作為權(quán)重分配給這些投資品。這種方法可稱為 Sharpe Ratio-Squared-weighted risk contributions portfolio，即 SSWRCP。在這個組合中，風(fēng)險不再平均分配，而是正比于夏普率的平方。這是一種主動的風(fēng)險預(yù)算（risk budgeting）。第三種模型是最大化投資組合夏普率組合（下稱 MSP，maximum Sharpe ratio portfolio）。除了協(xié)方差矩陣外，后兩種模型還需要投資品的期望收益率作為輸入。

根據(jù)定義可知，當(dāng)投資品的夏普率相同時，SSWRCP 簡化為 EWRCP 問題。這三種模型的數(shù)學(xué)表達如下：

無論采取哪種優(yōu)化問題求解投資組合中資產(chǎn)配置的權(quán)重，我們的終極目標(biāo)都是最大化該組合的夏普率。因此，MSP 問題的最優(yōu)配置就是“標(biāo)準(zhǔn)答案”。我們想要看看，在什么情況下，MSP 和 EWRCP 或 SSWRCP 等價，以及當(dāng)投資品夏普率不同或者投資品收益率不獨立時，EWRCP 和 SSWRCP 比 MSP 的夏普率差多少。

首先來看最簡單的情況 —— 僅有兩種投資品。

3 兩個資產(chǎn)的情況

首先假設(shè)兩個投資品的夏普率相同。根據(jù)它們是否獨立（相關(guān)系數(shù)是否為零），我們進行了一組實驗。對于兩個投資品，只要它們的夏普率一樣，無論它們的收益率是否相關(guān)，上述三種優(yōu)化方式等價（三個問題的最優(yōu)投資組合一致）。

下面，假設(shè)這兩種投資品的夏普率不同，我們又進行了一組實驗。當(dāng)夏普率不同時，如果投資品獨立，則有 MSP 和 SSWRCP 等價，且它們都優(yōu)于原始的 EWRCP；如果這兩個投資品相關(guān)，則 MSP 的最優(yōu)資產(chǎn)配置權(quán)重優(yōu)于 SSWRCP，而 SSWRCP 則又優(yōu)于 EWRCP。此外，無論夏普率是否相同，EWRCP 求解出的最優(yōu)資產(chǎn)配置權(quán)重和這兩個投資品各自的波動率成反比。

上述實驗中，MSP、SSWRCP 和 EWRCP 表現(xiàn)總結(jié)如下。

接下來我們看看三種投資品的情況，它的結(jié)論也可以推廣到多種投資品。

4 三（多）個資產(chǎn)的情況

首先假設(shè)這三個投資品的夏普率相同，進行如下兩組實驗。對于三種投資品，當(dāng)夏普率一樣且兩兩的相關(guān)系數(shù)一樣（包括零，即獨立），上述三種優(yōu)化等價；如果它們的相關(guān)系數(shù)不滿足前述條件，則有 MSP 優(yōu)于 SSWRCP 和 EWRCP（后兩個問題等價）。

下面，假設(shè)三種投資品的夏普率不同，再進行兩組實驗。如果夏普率不一樣，但是這三種投資品相互獨立，則 MSP 等價于 SSWRCP，且它們的最優(yōu)解優(yōu)于 EWRCP 的最優(yōu)解；如果投資品間不相互獨立（無論兩兩相關(guān)系數(shù)是否一樣），則有 MSP 優(yōu)于 SSWRCP，而 SSWRCP 又優(yōu)于 EWRCP。

此外，無論夏普率是否相同，只要投資品兩兩相關(guān)系數(shù)一樣，則求解原始風(fēng)險評價問題的最優(yōu)解滿足投資品的權(quán)重和其自身的波動率成反比。如果相關(guān)系數(shù)非兩兩一樣，則上述結(jié)論不成立。MSP、SSWRCP 和 EWRCP 三種模型的表現(xiàn)總結(jié)如下。

本節(jié)雖然是以三種投資品進行實驗，但是它的結(jié)論可以推廣到多個投資品中，對實際投資進行指導(dǎo)（實際投資中投資品個數(shù)往往超過三個）。

可以看到，僅在非常嚴(yán)苛的假設(shè)下，原始的 EWRCP 風(fēng)險平價問題才等價于最大化投資組合的夏普率。然而在實際中，我們幾乎無法保證投資品的夏普率相同以及它們收益率之間獨立或相關(guān)系數(shù)相同。因此從業(yè)務(wù)上說，拿來一個協(xié)方差矩陣就按照 EWRCP 問題一通優(yōu)化，得到的最優(yōu)資產(chǎn)配置很可能沒有任何業(yè)務(wù)道理。這是否意味著 EWRCP 模型在實踐中沒有用呢？答案是否定的。下面就來看看如何用 EWRCP 模型實現(xiàn)風(fēng)險平價的本質(zhì)理念。

5 用 EWRCP 實現(xiàn)風(fēng)險平價的本質(zhì)

通過上面的分析我們知道，在實際中直接套用 EWRCP 的數(shù)學(xué)模型時，應(yīng)該考慮以下兩點：

上面的第二條往往令人費解。橋水的全天候投資組合中，恰恰利用的就是不同投資標(biāo)的在不同的經(jīng)濟環(huán)境表現(xiàn)的負(fù)相關(guān)性 —— 比如在經(jīng)濟增長時股票表現(xiàn)好、債券表現(xiàn)差。那么為什么我們要在 EWRCP 中忽略收益率之間的相關(guān)性呢？這里的門道在哪呢？

正確的答案是這樣的。協(xié)方差矩陣中的相關(guān)系數(shù)是投資品之間的序列相關(guān)性，它描述的是兩個投資品的收益率各自圍繞其均值波動的一致性程度；而反觀橋水經(jīng)濟四象限中的投資品，它們的負(fù)相關(guān)性體現(xiàn)在不同經(jīng)濟環(huán)境下收益率均值的負(fù)相關(guān)性，這和上述序列相關(guān)性毫無關(guān)系。比如在經(jīng)濟增長時，股票的收益率均值可能是 8%，而債券的收益率均值是 -3%，它們的收益率均值呈負(fù)相關(guān)，但這兩個投資品的收益率序列各自圍繞 8% 和 -3% 波動，而這兩個波動之間一定會有某種序列相關(guān)性。如果不加忽視，這個相關(guān)性就會作為 EWRCP 模型的輸入 —— 協(xié)方差，從而對最優(yōu)解造成影響。從風(fēng)險平價的本意來說，這個序列相關(guān)性是不應(yīng)該被考慮的。因此，在用協(xié)方差矩陣作為 EWRCP 模型的輸入時，應(yīng)該忽略不同投資品收益率之間的協(xié)方差，而僅考慮每個投資品自己的方差。

6 實證

本節(jié)通過一個簡單的實證說明正確和錯誤的使用 EWRCP 模型將產(chǎn)生千差萬別的影響?？紤]四個代表性的投資品：美國 7 – 10 年國債（IEF）、滬深 300 指數(shù)（A）、標(biāo)普 500 指數(shù)（SPX）以及黃金（GLD）。實證的時間區(qū)間為 2009 年 1 月 31 日至 2017 年 11 月 30 日。這段時間內(nèi)這些投資品的風(fēng)險收益情況如下表和下圖所示。

首先，我們來看錯誤考慮收益率之間序列相關(guān)性的情況，即我們把收益率的協(xié)方差矩陣直接帶入到 EWRCP 模型中。為了比較，我們使用資金等權(quán)的配置作為基準(zhǔn)（通過杠桿把兩個組合的月收益率的波動率控制在 4%）。這兩種方法都是按月再平衡，它們的最優(yōu)資產(chǎn)配置權(quán)重及對應(yīng)的投資組合效果如下所示。令人意外（or 不出意外，畢竟我們錯誤的使用了 EWRCP 模型！）的是，錯誤風(fēng)險平價模型的計算結(jié)果僅僅保證了數(shù)學(xué)上這四個投資品（在錯誤的考慮了序列相關(guān)性時）對投資組合有相同的風(fēng)險貢獻，而其組合的實際收益情況非常差（它竟然做空標(biāo)普 500 指數(shù)，這從業(yè)務(wù)上絲毫沒有邏輯），在測試期內(nèi)年化收益率為負(fù)。

接下來，再來看看正確的做法，即忽略收益率的序列相關(guān)性。此外，考慮到這些投資品的夏普率不同，我們同時考慮 SSWRCP 模型，并將它們和“標(biāo)準(zhǔn)答案”最大化夏普率 MSP 模型比較。這四種方法的最優(yōu)配置和投資組合的收益情況如下所示。

從上面的結(jié)果發(fā)現(xiàn)，這四種方法產(chǎn)生的投資組合依次取得了更高的夏普率（按資金等權(quán) < EWRCP < SSWRCP < MSP），這符合我們的預(yù)期，在正確使用 EWRCP 后取得了預(yù)期的效果。由于這四種投資品自身的夏普率不同，因此 EWRCP 的夏普率僅為0.98，沒有超過它的標(biāo)的之一的標(biāo)普 500 指數(shù)。任何一種優(yōu)秀的資產(chǎn)配置方法應(yīng)該滿足其投資組合的夏普率比任何構(gòu)成該組合的標(biāo)的的夏普率都高。從這個角度來說，SSWRCP 和 MSP 無疑是更好的選擇。

最后需要指出的是，本節(jié)中的實證假設(shè)是為了說明正確使用協(xié)方差矩陣和考慮投資品之間夏普率的不同對于 EWRCP 模型的價值，因此我們假設(shè)投資品在整個測試期內(nèi)夏普率已知。在實際投資中，我們是無法提前知道未來任何時間段內(nèi)投資品的收益率或者夏普率的。在后續(xù)專題中，我們會探討如何基于歷史數(shù)據(jù)并通過風(fēng)險預(yù)算來構(gòu)建主動的風(fēng)險平價策略。如果我們能對收益率或者夏普率有較準(zhǔn)確的判斷，那么 SSWRCP 或 MSP（即 MVO）是更好的選擇。

7 結(jié)語

風(fēng)險平價這個理念因全天候基金的優(yōu)異表現(xiàn)而名聲大噪，引來了無數(shù)模仿者，形成了很多演義的版本。這其中，最流行的大概就是本文介紹的等風(fēng)險貢獻投資組合。然而，如果不理解風(fēng)險平價背后的核心邏輯，而是僅僅學(xué)了皮毛就盲目的套用數(shù)學(xué)模型，那無疑是東施效顰。Ray Dalio 在華爾街之所以備受尊重絕不僅僅因為全天候基金取得了優(yōu)異的投資回報，絕不僅僅因為橋水是世界上最大的對沖基金，而是因為他的人格魅力 —— 他對市場的敬畏和一顆永遠(yuǎn)探究投資真相的態(tài)度。正如他在 Dalio et al. (2015) 中寫到的：

Finding out what is true is a two-way responsibility. Ours is to honestly convey what we believe is true and yours is to probe us hard and openly so that we can work together toward learning what's true. Then, after we have had this quality exchange, we can each decide what we believe is true and what to do about it.

這種態(tài)度值得我們每個人學(xué)習(xí)。

參考文獻

Dalio, R., B. Prince, and G. Jensen (2015). Our thoughts about risk parity and all weather. Bridgewater Daily Observations, Sept 16, 2015.

Hoffstein, C. (2012). The dangers of bad risk parity implementations.?Working paper.

Qian, E. (2005). Risk Parity Portfolios: Efficient portfolios through true diversification. Panagora Asset Management.

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