作者：石川

摘要：資產(chǎn)定價(jià)理論保證了多因子模型和隨機(jī)折現(xiàn)因子的等價(jià)性。實(shí)證研究應(yīng)該在理論指引下展開。

1900 年，法國(guó)小伙 Louis Bachelier 在他的博士論文《投機(jī)理論》（Théorie de la spéculation）中首次使用布朗運(yùn)動(dòng)分析股票和期權(quán)的價(jià)格（Bachelier 1900）。然而由于他的觀點(diǎn)在當(dāng)時(shí)太前衛(wèi)，并沒有受到足夠的重視。最終，Bachelier 沒有獲得優(yōu)秀論文，而金融學(xué)的發(fā)端也沒能提前半個(gè)世紀(jì)。這不禁讓人感慨，Bachelier 的小失落，金融學(xué)的大遺憾。直到半個(gè)世紀(jì)之后，Bachelier 的成果才被 Paul Samuelson 發(fā)現(xiàn)。

時(shí)間終于來(lái)到上世紀(jì) 50 年代，金融學(xué)也進(jìn)入了后來(lái)被 Merton Miller 稱作是“The big bang of finance”的黃金年代。在這個(gè)時(shí)期，先是 Markowitz (1952) 提出了 Modern Portfolio Theory（mean-variance analysis），之后以 Sharpe (1964) 和 Lintner (1965) 為代表提出了 Capital Asset Pricing Model（見《CAPM 的一小段歷史》）。同一時(shí)期，F(xiàn)ama (1965, 1970) 提出了 Efficient Markets Hypothesis。

進(jìn)入 70 年代后，金融學(xué)持續(xù)飛速發(fā)展。1973 年，Black and Scholes (1973) 以及 Merton (1973a) 同時(shí)提出了期權(quán)定價(jià)模型。同期，Merton (1973b) 提出了 Intertemporal CAPM（ICAPM），Ross (1976) 提出了 Arbitrage Pricing Theory（APT），它們將資產(chǎn)定價(jià)在 CAPM 的基礎(chǔ)上進(jìn)行了極大地?cái)U(kuò)展。此外，Lucas (1978) 和 Breeden (1979) 則奠定了 Consumption-based CAPM（CCAPM）的基礎(chǔ)，CCAPM 被認(rèn)為是最本質(zhì)的資產(chǎn)定價(jià)模型。

以上這些是關(guān)于資產(chǎn)定價(jià)（asset pricing）的革命性研究。

從理論角度來(lái)說(shuō)，研究資產(chǎn)定價(jià)有兩條路可走：絕對(duì)定價(jià)（absolute pricing）和相對(duì)定價(jià)（relative pricing）。前者試圖將資產(chǎn)的價(jià)格和它們暴露的宏觀經(jīng)濟(jì)風(fēng)險(xiǎn)聯(lián)系起來(lái)，例如 CCAPM、ICAPM 都是這方面的模型。反觀后者，它們研究的目標(biāo)是如何利用一系列已知價(jià)格的資產(chǎn)給其它資產(chǎn)定價(jià)，比如期權(quán)定價(jià)模型和 APT。

無(wú)論是采用哪種 approach，不同的資產(chǎn)定價(jià)模型都可以被放入無(wú)套利定價(jià)公式框架（Cochrane 2005）：

其中??是 price，??是 payoff，??是 stochastic discount factor（SDF）。早期的研究重點(diǎn)是研究 SDF 的性質(zhì)以及理解到底是什么影響和決定 SDF。如今，在學(xué)界研究資產(chǎn)定價(jià)和業(yè)界實(shí)踐資產(chǎn)定價(jià)的時(shí)候，更常見的是通過 beta pricing models，它研究的對(duì)象是資產(chǎn)的預(yù)期收益和資產(chǎn)對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的暴露（beta）的關(guān)系，即我們熟悉的多因子模型。而這一研究風(fēng)向的變化始于 Fama and French (1993) 的三因子模型（FF3）。毫無(wú)疑問，F(xiàn)F3 引領(lǐng)了我們這個(gè)時(shí)代的 empirical work。

然而，這種看似跨度很大的研究轉(zhuǎn)變是否意味著我們放棄了對(duì) SDF 的研究，而轉(zhuǎn)向了尋找哪些因子最 fit 實(shí)證數(shù)據(jù)，最應(yīng)該被塞進(jìn)多因子模型的 RHS 呢？答案是否定的。這是因?yàn)?FF3（和它的諸多繼任者們）所代表的 beta pricing models 背后有著扎實(shí)的金融學(xué)理論，即 beta pricing models 和 SDF 是等價(jià)的。這種等價(jià)性才是我們?nèi)缃衲軌蛲ㄟ^多因子模型研究資產(chǎn)定價(jià)的保障。

根據(jù)資產(chǎn)定價(jià)理論，SDF??和因子??滿足關(guān)系??。由于??是通過協(xié)方差而非二階矩計(jì)算的（協(xié)方差是 demean 后的二階矩），因此為了方便推導(dǎo)可以在上述關(guān)系中把因子??做 demean 處理并把所有均值的信息都放在??里面，因而有??。此外，當(dāng)研究的對(duì)象是超額收益時(shí)，利用??這個(gè)性質(zhì)可將??任意縮放。所以，不失一般性使得通過縮放滿足??。最終我們就得到了簡(jiǎn)化后的??和??的關(guān)系：??。因此，對(duì)于超額收益，有如下資產(chǎn)定價(jià)定理：

其中??表示因子，??表示因子的預(yù)期超額收益，??為某資產(chǎn)??的超額收益。上述定理的含義是，當(dāng)我們把資產(chǎn)預(yù)期超額收益表示成??乘以??的時(shí)候（即多因子模型），SDF 則可以表示為這些因子??的線性組合。此外，??就是資產(chǎn)超額收益??對(duì)因子??的多元回歸系數(shù)。

John Cochrane 對(duì)這種等價(jià)關(guān)系的評(píng)價(jià)是：An expected return beta model is equivalent to a discount factor that is a linear function of the factors in the beta model.?This is an important and central result.?It gives the connection between the discount factor formulation and the expected return-beta factor model formulation common in empirical work.

接下來(lái)就簡(jiǎn)單推導(dǎo)一下。由??可知??。利用??，??，??的表達(dá)式以及??可得：

將??挪到等式另一端：

為了讓??出現(xiàn)在上式中，利用??，并將該表達(dá)式代入上式并通過代數(shù)運(yùn)算可得：

因此可以求出對(duì)應(yīng)的因子預(yù)期超額收益??。以上就從 SDF 推出了對(duì)應(yīng)的多因子模型；反之也可以通過給定的多因子模型反推出 SDF。當(dāng)然，我們這里更關(guān)心的是??的表達(dá)式到底代表了什么。上述理論并未對(duì)因子??做任何限制，即因子可以是 state variables，也可以是 traded assets。為了建立和 FF3 這類實(shí)證模型的聯(lián)系，我們關(guān)心的是因子??是 excess returns 時(shí)候的情況，??是什么。依然從??出發(fā)，兩邊同時(shí)乘??并求期望有：

由于??是 excess returns，因此??。結(jié)合上式，最終可推出：


綜合上述定理和推導(dǎo)，可以總結(jié)如下：通過 beta pricing model 中因子的某個(gè)線性組合就能夠得到 SDF，而當(dāng)因子??是 excess returns 時(shí)，它們的預(yù)期超額收益??等于??，且模型中的??就是資產(chǎn)超額收益??和因子 excess returns 的多元回歸系數(shù)。而這兩點(diǎn)，恰恰就是 FF3 們所滿足的。這就是為什么這些多因子模型非常吸引人并得到了非常廣泛的應(yīng)用。

上述推導(dǎo)解釋了以 FF3 為代表的多因子模型背后的資產(chǎn)定價(jià)理論。此外，作為 empirical work 的開端，Eugene Fama 和 Ken French 也通過對(duì) FF3 的解讀給后人樹立了使用和檢驗(yàn)多因子模型的典范。在這方面，不得不提的一篇重要程度不亞于 Fama and French (1993) 的論文是 Fama and French (1996)，它真正拉開了通過多因子模型對(duì)其他資產(chǎn)研究 relative pricing 的序幕。

這篇文章的第一個(gè)重點(diǎn)是傳遞出這樣一個(gè)態(tài)度，即尊重統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)結(jié)果，但統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)結(jié)果并不應(yīng)該是挑選多因子模型的全部。舉例來(lái)說(shuō)，當(dāng)以使用 size 和 BM 雙重排序構(gòu)造的 25 個(gè) portfolios 作為 test assets 時(shí)，F(xiàn)F3 的 Gibbons, Ross and Shanken (1989) test 結(jié)果是 p-value = 0.004，即模型被拒絕了。這是否意味著它不是一個(gè)好模型呢？

考察這些 test assets 的??可知，模型無(wú)法解釋的是市值最小且估值最高的這一撮兒股票；對(duì)于其他絕大多數(shù) test assets，它們的??都足夠接近零。因此，不應(yīng)輕易的根據(jù) GRS test 結(jié)果來(lái)拒絕 FF3。對(duì)于 empirical work 來(lái)說(shuō)，與統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)結(jié)果相比，能否給實(shí)踐提供足夠指引是更為重要的準(zhǔn)則。（前文《股票多因子模型的回歸檢驗(yàn)》的第 7 節(jié)，也強(qiáng)調(diào)了 Test is not everything.）

當(dāng)然，也許你和我一樣會(huì)說(shuō)，這 25 個(gè)組合和 HML 以及 SMB 兩因子都是用 size 和 B/M 雙重排序構(gòu)造的，F(xiàn)F3 能給它們定價(jià)不是理所當(dāng)然嘛。

True!

因此，該文的第二個(gè)重要之處是使用 FF3 給其他 anomalies 定價(jià)。為此，該文考慮了 Lakonishok, Shleifer and Vishny (1994) 通過 EP、CP 和 five-year sales 等構(gòu)造的投資組合，以及 DeBondt and Thaler (1985) 的長(zhǎng)期反轉(zhuǎn)和 Jegadeesh and Titman (1993) 的中期動(dòng)量。實(shí)證結(jié)果顯示，絕大多數(shù) test assets 在 FF3 下的聯(lián)合 pricing errors 很小，通過了 GRS test。不過他們也欣然承認(rèn)，F(xiàn)F3 無(wú)法解釋動(dòng)量效應(yīng)。如今，檢驗(yàn)對(duì) test assets 的定價(jià)能力早已成為比較不同多因子模型時(shí)的必要手段（見《直觀理解 GRS 和 MV Spanning》以及《Toward a better factor model》）。

值得借鑒的另一點(diǎn)是二位作者如何看待 FF3，并以此傳遞出的研究因子時(shí)應(yīng)有的紀(jì)律性。從因子的構(gòu)造和實(shí)證結(jié)果來(lái)看，MKT、HML 和 SMB 三個(gè)因子能在很大程度上解釋資產(chǎn)收益率的共同運(yùn)動(dòng)，因此 FF3 應(yīng)被視作 APT 模型；不過有意思的是他們依然嘗試從 ICAPM 的角度解釋因子。以 HML 為例，F(xiàn)ama and French (1996) 把它看作 relative distress 這個(gè) state variable 的 factor mimicking portfolio。

這也許是 Eugene Fama 為了避免 beta pricing models 退化為純粹的 empirical work 所堅(jiān)守的態(tài)度。這種堅(jiān)守也體現(xiàn)在了 Fama and French (1996) 一文的最后一段，兩位作者再次強(qiáng)烈表達(dá)了希望能夠搞清楚 HML 和 SMB 代表的 state variables 的愿景。

FF3 之后，越來(lái)越多的多因子模型被提出（見《主流多因子模型巡禮》），它們都屬于 empirical asset pricing 的范疇。而一旦把“empirical”一詞加到“asset pricing”之前，就需要格外的謹(jǐn)慎。一方面，empirical work 可以讓模型更加貼近實(shí)際數(shù)據(jù)，更好的指引投資實(shí)務(wù)；而另一方面，我們也應(yīng)避免研究變成毫無(wú)意義的 ex post mean-variance optimization。

從 Fama and French (1993, 1996) 中我們看到了早期實(shí)證資產(chǎn)定價(jià)研究的態(tài)度，也許這種對(duì)理論和實(shí)證之間平衡的極致追求就是對(duì) empirical 一詞最好的詮釋。而本文希望傳遞出來(lái)的觀點(diǎn)是， ? beta pricing models 背后從來(lái)都有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)馁Y產(chǎn)定價(jià)理論（和 SDF 的等價(jià)性），而 empirical work 也從來(lái)都應(yīng)該在理論的指引下展開。

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