作者：石川

摘要：若市場(chǎng)中不（持續(xù)）存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)，那么資產(chǎn)的預(yù)期收益由資產(chǎn)和因子的協(xié)方差（即??）決定。

最近我被 Stefan Nagel 圈粉。

Stefan Nagel 何許人也？他是芝加哥大學(xué)的金融學(xué)教授，Journal of Finance 的執(zhí)行主編，尤其擅長資產(chǎn)定價(jià)理論。我最近接連精讀了他的兩篇文章，它們均很好地補(bǔ)充了我對(duì)資產(chǎn)定價(jià)和因子投資的理解。因此本文和兩周后的文章將會(huì)背靠背介紹這兩篇文章。

今天要說的是 Kozak, Nagel, and Santosh (2018)，標(biāo)題是 Interpreting Factor Models（下稱 KNS）。早在 2015 年，該文就出現(xiàn)在 AFA 年會(huì)上，后來 2017 年被 Journal of Finance 接收，2018 年見刊。該文是資產(chǎn)定價(jià)理論和實(shí)證數(shù)據(jù)的完美結(jié)合，加深了人們對(duì) reduced-form factor models（即多因子模型）的理解。

為了說明 KNS 的核心結(jié)論，先來定義一下無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)。該文將其定義為“trading strategies that earn extremely high Sharpe ratios”（即超高夏普率的交易策略）。這句話可以被更精確地解讀為兩點(diǎn)：（1）超高夏普率可以在短時(shí)內(nèi)存在，但不是持續(xù)的現(xiàn)象；（2）超高夏普率策略無法產(chǎn)生巨大的價(jià)格沖擊（can't have large price impact）。和人們的認(rèn)知相符，市場(chǎng)上難以存在同時(shí)不滿足以上兩點(diǎn)的無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)。

假設(shè)市場(chǎng)中不存在上述定義的無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)，KNS 的兩個(gè)核心結(jié)論（順序分先后，但是同等重要）如下：

1. 資產(chǎn)的預(yù)期超額收益由資產(chǎn)和因子的協(xié)方差（也就是我們常說的??）決定，而這些因子和資產(chǎn)收益率的協(xié)方差矩陣密切相關(guān)。關(guān)于前半句話，根據(jù)定義，??是資產(chǎn)收益率對(duì)因子收益率的回歸系數(shù)，而回歸系數(shù)的分子就是二者的協(xié)方差[1]。這個(gè)結(jié)論給近年來的 covariance 和 firm characteristics 到底哪個(gè)能決定資產(chǎn)預(yù)期收益之爭(zhēng)提供了非常重要的啟發(fā)（這也是為什么本文的標(biāo)題為 Which Beta (III) ?）。

2. 盡管資產(chǎn)預(yù)期收益由??決定，但僅從這點(diǎn)出發(fā)，人們并不能區(qū)分因子背后是風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償解釋還是錯(cuò)誤定價(jià)解釋。換句話說，哪怕資產(chǎn)的價(jià)格僅僅由非理性投資者持有的關(guān)于資產(chǎn)收益分布的失真信仰決定，資產(chǎn)的預(yù)期收益依然由資產(chǎn)和因子的協(xié)方差（??）決定。

由上述第一點(diǎn)可知，在 KNS 的研究視角下，多因子模型中的因子并非像 Fama and French (1993) 三因子（FF3）模型這樣給定的 MKT、HML 以及 SMB 因子，而是從資產(chǎn)收益率的協(xié)方差矩陣出發(fā)，通過 PCA 構(gòu)造的因子。為此，在實(shí)證研究中，KNS 選擇了兩組 test assets。第一組是 Novy-Marx and Velikov (2016) 一文提及的 15 個(gè)代表性異象的各自多、空組合（因此一共 30 個(gè) test assets）；第二組是 FF3 使用的 size-B/M 雙重排序構(gòu)造的 25 個(gè)投資組合。

看到這里有小伙伴可能會(huì)問，使用 PCA 構(gòu)造的因子是否有足夠的經(jīng)濟(jì)學(xué)含義。以 FF3 的 25 個(gè) test assets 為例，對(duì)它們進(jìn)行 PCA 運(yùn)算，得到的第一主成分可以被理解為一個(gè) level factor，正好對(duì)標(biāo) MKT，而第二、三主成分中 test assets 的權(quán)重如下圖所示。

從上面左圖不難看出，test assets 的權(quán)重隨著 size quartiles 逐漸降低（其中小市值組合的權(quán)重為正，大市值組合的權(quán)重為負(fù)），且每個(gè) size 下不同 B/M 組合的權(quán)重很接近，這毫無疑問對(duì)應(yīng)了 FF3 中的 SMB。另一方面，右圖顯示 test assets 的權(quán)重隨 B/M quartiles 逐漸升高（其中高 B/M 組合權(quán)重為正，低 B/M 組合權(quán)重為負(fù)），且給定 B/M 下不同 size 組合的權(quán)重接近，這無疑對(duì)應(yīng)了 FF3 的 HML。

這個(gè)例子清晰的說明，當(dāng) test assets 中有很強(qiáng)的 factor structures，那么 PCA 是注定能夠識(shí)別它們的。而在這個(gè)例子中，對(duì)于這 25 個(gè) test assets 來說，利用前三個(gè)主成分構(gòu)造的多因子模型就完全對(duì)標(biāo)了 FF3。因此，像 FF3 這種人為構(gòu)造的因子并無特殊性，而使用 PCA 構(gòu)造的因子則更具一般性。

對(duì)于給定的 test assets，PCA 雖然能夠從它們的協(xié)方差矩陣中構(gòu)造出因子，但人們真正關(guān)心的問題是，資產(chǎn)和這些因子的協(xié)方差（??）能否決定資產(chǎn)的預(yù)期收益呢？KNS 通過資產(chǎn)定價(jià)理論分析表明，在市場(chǎng)中不存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)的假設(shè)下，上述問題的答案是肯定的。

1

假設(shè)共有??個(gè)資產(chǎn)，令??表示它們的超額收益，??表示它們的預(yù)期超額收益，??表示??的協(xié)方差矩陣。由于??是超額收益，因此存在隨機(jī)折現(xiàn)因子（SDF）??使得??。根據(jù) Hansen and Jagannathan (1991) 的研究，??可以表示為以下形式：? ?

由于??是超額收益，因此??可以被任意縮放。為方便推導(dǎo)，不妨令??，由此可以推導(dǎo)出??的方差為：? ?

換句話說，隨機(jī)折現(xiàn)因子??的方差由通過??個(gè)資產(chǎn)構(gòu)造的最大夏普率的平方（squared SR）決定?！?span style="font-size: 16px; cursor: pointer;">??”這個(gè)關(guān)系將在稍后的分析中發(fā)揮重要的作用。

為了進(jìn)一步分析，對(duì)資產(chǎn)的協(xié)方差矩陣??進(jìn)行特征分解，得到??，其中??是對(duì)角陣，對(duì)角線上的元素為特征值??，而??的每一列為一個(gè)特征向量。KNS 進(jìn)一步假設(shè)第一主成分是一個(gè) level factor，而從第二主成分開始，它們都代表了由??個(gè)資產(chǎn)構(gòu)造的某種 long-short portfolios。

帶著上述 PCA 分解，再來看??。由數(shù)學(xué)推導(dǎo)可知：? ?

其中第一項(xiàng)和 level factor 有關(guān)，我們主要來看第二項(xiàng)。第二項(xiàng)是剩余??個(gè)主成分求和，而它的大小取決于每一項(xiàng)中分子和分母的大小，其中分子是每個(gè)資產(chǎn)的預(yù)期收益和某個(gè)主成分的截面相關(guān)系數(shù)（的平方），而分母是該主成分對(duì)應(yīng)的特征值。

接下來，就是最重要的推斷。大量實(shí)證數(shù)據(jù)表明，對(duì)資產(chǎn)收益率協(xié)方差矩做 PCA 分解時(shí)，特征值衰減的是非?？斓?。這意味著除了前幾個(gè)主成分外，后面主成分的特征值非常小。如果資產(chǎn)的預(yù)期收益??和后面的主成分（higher order PCs）高度相關(guān)，由于它們的特征值（??）很低，這將造成上式中的第二項(xiàng)很大，因而??很大。而從之前的推導(dǎo)可知，??等于??個(gè)資產(chǎn)構(gòu)造的最大 squared SR，因此我們可以推出：如果資產(chǎn)的預(yù)期收益??和 higher order PCs 高度相關(guān)（而和前幾個(gè)主成分不相關(guān)），則由??個(gè)資產(chǎn)構(gòu)造的最大 squared SR 就會(huì)非常大，即市場(chǎng)中存在無風(fēng)險(xiǎn)套利的機(jī)會(huì)。由于市場(chǎng)中不存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)，因此反過來：在市場(chǎng)中不存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)（即最大 squared SR 是有限）的假設(shè)下，資產(chǎn)的預(yù)期收益就必須和前幾個(gè)主成分高度相關(guān)。

利用本文開篇提到了兩組 test assets，KNS 給出了上述結(jié)論的實(shí)證證據(jù)。如下圖所示，對(duì)于這兩組 test assets，如果這些資產(chǎn)的預(yù)期收益和更多的 higher order 主成分高度相關(guān)，則最大的 squared SR 是非常高的。例如，對(duì)于第一組 test assets，如果它們和前 10 個(gè)主成分都高度相關(guān)，則它們構(gòu)造的最大 squared SR 將高達(dá) 6.0，這顯然和真實(shí)情況不符，所以資產(chǎn)的預(yù)期收益只能和前幾個(gè)主成分相關(guān)。

前文的論述表明資產(chǎn)預(yù)期收益和前幾個(gè)主成分高度相關(guān)，即對(duì)前幾個(gè)主成分來說??很大。但從這個(gè)現(xiàn)象還無法直接推出資產(chǎn)和這些 PCA 因子的協(xié)方差（??）能夠解釋資產(chǎn)的預(yù)期收益。因此，為了考察這一點(diǎn)，KNS 使用 PCA 構(gòu)造的多因子模型，通過時(shí)序分析進(jìn)行了實(shí)證研究。以 Novy-Marx and Velikov (2016) 中涉及的 15 個(gè)異象為例，下表展示了 PCA 因子模型的定價(jià)能力。對(duì)于絕大多數(shù)異象來說，隨著因子個(gè)數(shù)的增加，異象的定價(jià)誤差逐漸降低，說明資產(chǎn)和這些因子的??能夠很好的解釋它們的預(yù)期收益。

綜合前述所有模型推論和實(shí)證結(jié)果，我們可以得出結(jié)論：資產(chǎn)收益率波動(dòng)的共性由若干個(gè)因子主宰，資產(chǎn)預(yù)期收益率和這些因子密切相關(guān)（??大），資產(chǎn)預(yù)期收益率的截面差異由資產(chǎn)和因子的協(xié)方差（??）決定。在這個(gè)結(jié)論下，如果投資者想要獲取例如低估值 vs 高估值或者贏家 vs 輸家股票之間預(yù)期收益的差異，就必須要承擔(dān)在相應(yīng)因子上必要的暴露。

盡管如此，上述結(jié)論也并非沒有受到其他實(shí)證結(jié)果的沖擊。在諸多實(shí)證挑戰(zhàn)中，最有代表性的無疑還是要數(shù)“which beta”[2]之爭(zhēng)。Daniel and Titman (1997) 研究了 FF3 并發(fā)現(xiàn)資產(chǎn)的預(yù)期收益由 size 和 B/M 這些 firm characteristics 決定，而非??決定[3]。放在 KNS 的理論框架下，由于主成分之間的是正交的，這意味著 Daniel and Titman (1997) 主張預(yù)期收益和 higher order PCs 相關(guān)。這顯然和 KNS 的結(jié)論背道而馳。

另一方面，僅看 KNS 自己的實(shí)證結(jié)果，以第一組 30 個(gè) test assets 為例，它們構(gòu)造的事后（ex post）最大 squared SR 高達(dá) 4.23，而前五個(gè)主成分構(gòu)造的最大 squared SR 僅為 1.77。這兩個(gè)數(shù)字之間巨大的鴻溝似乎也表明還有一些 higher order PCs 決定了預(yù)期收益。但事實(shí)真的如此嗎？對(duì)于這一點(diǎn)，KNS 給出了至少在我看來合情合理的解釋。而解釋的關(guān)鍵就在于所謂高 squared SR 在跨越樣本內(nèi)外的可持續(xù)性。仍以 Novy-Marx and Velikov (2016) 的異象為例，如果將實(shí)證區(qū)間一分為二，前半部分為樣本內(nèi)（IS），后半部分為樣本外（OOS），并繪制出他們?cè)跇颖緝?nèi)外的夏普率（下圖）?？梢钥吹剑趯?shí)證區(qū)間的后半段，幾乎所有異象的夏普率都低于前半段。

此外，利用上述劃分，KNS 使用前半段樣本內(nèi)數(shù)據(jù)構(gòu)造了主成分，并檢驗(yàn)主成分所實(shí)現(xiàn)的最大 squared SR 在樣本內(nèi)外的差異，結(jié)果如下圖所示。

無論是針對(duì)哪一組 test assets，上述結(jié)果清晰的顯示出：在樣本內(nèi)，夏普率隨主成分?jǐn)?shù)量單調(diào)遞增，然而在樣本外，夏普率隨著主成分個(gè)數(shù)的增加卻提升的非常緩慢（且對(duì)于給定個(gè)數(shù)的主成分，樣本外夏普率比樣本內(nèi)低的多）。樣本內(nèi)外的差異表明，哪怕事后來看一些 higher order PCs 能夠決定資產(chǎn)預(yù)期收益，它們也很難在樣本外維系。這個(gè)結(jié)果從一定程度上回應(yīng)了 Daniel and Titman (1997) 的發(fā)現(xiàn)。

There are additional reasons to suspect that high ex-post SRs are not robust indicators of persistent near-arbitrage opportunities. Short-lived near-arbitrage opportunities might exist for a while before being recognized and eliminated by arbitrageurs. Data-snooping biases further overstate in-sample SRs.

2

再回到 covariance 和 characteristics 之爭(zhēng)。從行為金融學(xué)角度來說，人們認(rèn)為 characteristics 而非 covariance 決定資產(chǎn)定價(jià)；這種“非理性”定價(jià)行為也被認(rèn)為是和 covariance 正交的定價(jià)錯(cuò)誤。然而，事實(shí)真的如此嗎？為了從直覺上理解這個(gè)問題，我們用人們喜聞樂見的截面動(dòng)量來說明。行為金融學(xué)認(rèn)為動(dòng)量背后的原因是定價(jià)錯(cuò)誤，不能被資產(chǎn)和前幾個(gè)主成分的?covariance（即??）解釋。如果這個(gè)結(jié)論是對(duì)的，它意味著動(dòng)量必然和 higher order PCs 有關(guān)。然而實(shí)證數(shù)據(jù)顯示，截面動(dòng)量的多頭和空頭內(nèi)的股票都有很強(qiáng)的共同運(yùn)動(dòng)。由于股票的共同運(yùn)動(dòng)很大程度上由前幾個(gè)主成分解釋，而非 higher order PCs，因此該觀點(diǎn)和實(shí)證數(shù)據(jù)不符。

在套利者看來，上述共同運(yùn)動(dòng)代表了某種他們不愿意去交易的系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)，也正因如此動(dòng)量多空兩頭的收益率才有差異、動(dòng)量才被定價(jià)。如果像行為金融學(xué)的看法那樣，截面動(dòng)量中的股票沒有共同運(yùn)動(dòng)（即沒有系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)），而是和 higher order PCs 有關(guān)（即是由特質(zhì)性波動(dòng)造成的），那么對(duì)套利者來說這將是獲得無風(fēng)險(xiǎn)套利的絕佳機(jī)會(huì)，他們會(huì)充分套利，導(dǎo)致動(dòng)量的收益不復(fù)存在。

離開這個(gè)例子之前，最后需要澄清的一點(diǎn)是：動(dòng)量背后本身的原因完全可以是來自行為金融學(xué)（上述討論完全不否認(rèn)這一點(diǎn)）；但我們希望這個(gè)例子強(qiáng)調(diào)的是，正如 KNS 研究的第二部分表明，即便資產(chǎn)的定價(jià)完全由非理性交易者驅(qū)動(dòng)，它們的預(yù)期收益依然由（資產(chǎn)和因子的）協(xié)方差（??）決定。為了得到定量的推斷，KNS 在模型中考慮市場(chǎng)中存在理性交易者和情緒交易者。相較于前者，情緒交易者對(duì)資產(chǎn)的需求多了一個(gè)參數(shù)? 。此外，考慮到現(xiàn)實(shí)世界中情緒交易者的實(shí)際約束（例如不能毫無限制的使用杠桿或者做空），因此在模型中，? 滿足? ? ?的約束。這個(gè)條件是 KNS 和早期類似的模型（例如 Daniel, Hirshleifer, and Subrahmanyam 2001）的最大差異。

利用該模型，KNS 討論了很多 implications。為了本文的緊湊性（以及少放點(diǎn)公式），我挑一點(diǎn)來闡述。在該模型下，資產(chǎn)收益率相對(duì) CAPM 的偏離完全由情緒交易者推動(dòng)。如果按照行為金融學(xué)的觀點(diǎn)，那么應(yīng)該是 characteristics 而非 covariance（??）決定資產(chǎn)的預(yù)期收益。然而，模型顯示，資產(chǎn)預(yù)期收益的截面波動(dòng)越高，則這些波動(dòng)中被前幾個(gè)主成分解釋的比例也越高（下圖）。

圖中給出了兩組 test assets 上的檢驗(yàn)結(jié)果，其中豎直線表示了真實(shí)數(shù)據(jù)中 test assets 預(yù)期收益的截面波動(dòng)（對(duì)于 FF3 的 25 個(gè) test assets 是 0.17；另一組 30 個(gè) test assets 是 0.47）。圖中縱坐標(biāo)是截面波動(dòng)中被前兩個(gè)（對(duì)于 FF3 的 test assets）和前三個(gè)（對(duì)于 30 個(gè) test assets）主成分[4]能夠解釋的比例。結(jié)果顯示，哪怕在這個(gè)價(jià)格由情緒交易者驅(qū)動(dòng)的世界中，資產(chǎn)和前幾個(gè)主成分的協(xié)方差依然能在很大程度上解釋資產(chǎn)預(yù)期收益的截面差異，而如果不采用更進(jìn)一步的分析，人們是無法區(qū)分背后的原因是風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償還是非理性驅(qū)動(dòng)的定價(jià)錯(cuò)誤。

3

以上是 KNS 中最核心的觀點(diǎn)。該文還有其他一些很有價(jià)值的討論，建議感興趣的小伙伴去看原文。讀完此文，我也不禁思考，它對(duì)近年來的 which beta 之爭(zhēng)以及因子投資有怎樣的意義。首先，大量實(shí)證結(jié)果表明對(duì)于常見的多因子模型來說，firm characteristics 似乎比 covariance 更能預(yù)測(cè)收益率。例如 Fama and French (2020) 的研究也發(fā)現(xiàn)用 firm characteristics 的動(dòng)態(tài)模型比用??的靜態(tài)模型的定價(jià)誤差更低[5]。這些實(shí)證結(jié)果似乎和 KNS 相悖。但是一方面，這樣的結(jié)果從一定程度上可以被前文討論的樣本內(nèi)外的差異所解釋。另外，在這個(gè)矛盾背后，我能想到的另一個(gè)合理解釋就是，像諸如 SMB 和 HML 這些因子僅僅是構(gòu)造 SDF 的一小部分（或者甚至不是組成 SDF 的成分），因而它們的定價(jià)能力本身就很微弱，所以哪怕被 characteristics based test 拒絕了，也不能說明 KNS 的結(jié)論有問題。從某種意義上來說，學(xué)術(shù)界的 covariance vs characteristics 之爭(zhēng)可以理解為人們?cè)谡覍つ軌驔Q定 mean-variance efficient frontier 組合的 characteristics[6]。而根據(jù)資產(chǎn)定價(jià)理論，一旦找到了該組合，那么資產(chǎn)的預(yù)期收益就由資產(chǎn)和它的協(xié)方差（??）決定。

第二點(diǎn)就是 KNS 的模型為近年來流行的行為金融學(xué)多因子模型提供了很好的理論支持。無論是 Stambaugh and Yuan (2017) 還是 Daniel, Hirshleifer, and Sun (2020)，它們雖然都是從行為金融學(xué)的角度提出因子，然而最后用來決定資產(chǎn)預(yù)期收益的依然是資產(chǎn)和因子的協(xié)方差（??）。這些實(shí)證結(jié)果和 KNS 的模型相符。最后，資產(chǎn)預(yù)期收益率由協(xié)方差（??）決定也給一直以來的??和??之爭(zhēng)很大的啟示。按照定義，??代表了無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)。無論是理論還是現(xiàn)實(shí)中，??是不持久的且無法造成大的價(jià)格沖擊。而另一方面，KNS 的模型表明，真正能夠決定資產(chǎn)預(yù)期收益率的，唯有??。

Kozak, Nagel, and Santosh (2018)，相見恨晚。

備注：

[1] 見《FF3 們背后的資產(chǎn)定價(jià)理論》。

[2] 見《Which beta?》和《Which beta (II)?》 。

[3] 這篇文章?1997 年發(fā)表在 Journal of Finance 上，和 Fama and French (1996) 只相差 1 年，足見分量。

[4] 除去第一個(gè) level factor 之外的兩個(gè)和三個(gè)主成分。

[5] 見《A new norm?》。

[6] 見《尋找 mean-variance frontier》。

參考文獻(xiàn)

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Stambaugh, R. F. and Y. Yuan (2017). Mispricing factors.?Review of Financial Studies 30(4), 1270 – 1315.

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